2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学题库试题附答案完整版

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2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学题库试题附答案完整版1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求函数的单调区间。

答案：单调递增区间为$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(\infty,2)$。

解析：首先求出函数的一阶导数$f'(x)=3x^26x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。当$x<0$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>2$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。

2.解不等式组$\begin{cases}2x3y+1>0\\x+y2<0\end{cases}$。

答案：解集为$\{(x,y)|1<x<2,3<y<1\}$。

解析：将不等式组中的两个不等式分别求解：

对于$2x3y+1>0$，移项得$y<\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$。

对于$x+y2<0$，移项得$y<x+2$。

将两个不等式的解集合并，得到解集$\{(x,y)|1<x<2,3<y<1\}$。

3.若函数$g(x)=\sqrt{4xx^2}$的定义域为$[0,4]$，求实数$a$的取值范围，使得函数$g(xa)$的定义域为$[1,3]$。

答案：$a\in[2,4]$。

解析：由于$g(x)=\sqrt{4xx^2}$的定义域为$[0,4]$，故$4xx^2\geq0$，解得$x\in[0,4]$。

对于$g(xa)$，其定义域为$[1,3]$，即$4(xa)(xa)^2\geq0$。

化简得$(xa2)(xa2)\leq0$，解得$x\in[a+2,a+2]$。

由于$g(xa)$的定义域为$[1,3]$，故$a+2\leq1$和$a+2\geq3$同时成立，解得$a\in[2,4]$。

4.设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，已知$S_3=12$，$a_4=5$，求等差数列$\{a_n\}$的通项公式。

答案：$a_n=2n1$。

解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$S_3=12$，得到$12=\frac{3(a_1+a_3)}{2}$，解得$a_1+a_3=8$。

又因为$a_4=a_1+3d=5$，代入上式解得$a_1=2$，$d=1$。

故等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n1)d=2+(n1)\times1=2n1$。

5.已知三角形$ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，求$\sinA$的值。

答案：$\sinA=\frac{3}{5}$。

解析：由勾股定理可知，三角形$ABC$为直角三角形，其中$\angleACB=90^\circ$。

根据正弦定义，$\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{

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