浙教版八年级数学上册《1.4 全等三角形》同步练习题（带答案）

第第页浙教版八年级数学上册《1.4全等三角形》同步练习题（带答案）一、知识梳理知识点1全等图形能够完全重合的两个图形叫做全等图形。图1-1平移、翻折、旋转都能得到全等图形要点①"完全重合"指的是形状相同、大小也相同；②把一个图形平移、翻折或旋转后所得的图形，与原图形一定全等；③形状相同但大小不同的两个图形（如两个大小不等的等边三角形）不是全等图形。知识点2全等三角形及其表示能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起时：互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。图1-2全等三角形的对应顶点、对应边和对应角如图，△ABC与△DEF全等，记作"△ABC≌△DEF"，读作"三角形ABC全等于三角形DEF"。符号"≌"中，"∽"表示形状相同，"="表示大小相等。书写规范（非常重要）用符号"≌"表示两个三角形全等时，必须把对应顶点写在对应的位置上。例如写成△ABC≌△DEF，就表示A与D、B与E、C与F是对应顶点，于是AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。知识点3全等三角形的性质全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。用符号语言表示：∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。图1-3由全等可以推出对应边、对应角相等由性质还可以推出①全等三角形的周长相等，面积也相等；②全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线都分别相等。知识点4找对应元素的方法方法具体做法看符号若已写成△ABC≌△DEF，则按字母顺序一一对应，这是最可靠的方法看角相等的角是对应角；对应角所对的边是对应边看边相等的边是对应边；对应边所对的角是对应角看位置公共边一定是对应边；公共角一定是对应角；对顶角一定是对应角看大小最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角图1-4有公共边的两个三角形如图，△ABD与△ACD有公共边AD，若这两个三角形全等，则AD一定是它们的对应边。易错提醒①写全等式时字母顺序不能随意颠倒，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EDF表示的对应关系完全不同；②"对应边"不等于"对应位置的边"，一定要先弄清楚哪两个顶点是对应顶点；③两个三角形面积相等、周长相等，并不能说明它们全等。二、典例精析例1找对应边与对应角已知△ABC≌△DEF。（1）写出所有的对应边和对应角；（2）若AB=5，BC=6，AC=4，求△DEF各边的长；（3）若∠A=50°，∠E=60°，求∠C的度数。【解】（1）对应边：AB与DE，BC与EF，AC与DF；对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。（2）由全等三角形的对应边相等，得DE=AB=5，EF=BC=6，DF=AC=4。（3）由全等三角形的对应角相等，得∠B=∠E=60°。在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。【解析】这类题的核心是"按字母顺序找对应"。由△ABC≌△DEF立刻可知A↔D、B↔E、C↔F，然后边、角都按这个对应关系一一写出。第（3）小题要先把∠E转化为∠B，再用三角形内角和求∠C。例2书写全等式如图1-2，已知两个三角形全等，且AB=DE，∠B=∠E。下面几种写法中，哪些是正确的？（1）△ABC≌△DEF；（2）△BAC≌△EDF；（3）△ABC≌△EDF；（4）△CAB≌△FDE。【解】（1）（2）（4）正确，（3）错误。【解析】对应关系是A↔D、B↔E、C↔F。（1）A↔D、B↔E、C↔F，正确；（2）B↔E、A↔D、C↔F，正确；（4）C↔F、A↔D、B↔E，正确；（3）中把A对应成了E、B对应成了D，与实际对应关系不符，错误。结论：只要每一位上的字母都是真正的对应顶点，写法就正确，与从哪个顶点开始写无关但两个三角形的字母顺序必须"步调一致"。例3含公共边的全等三角形如图，AD是△ABC的中线，且△ABD≌△ACD。图1-5例3用图（1）写出这两个三角形的对应边和对应角；（2）若∠B=55°，求∠C的度数；（3）若∠ADB=90°，说明AD是BC边上的高线。【解】（1）由△ABD≌△ACD知，对应顶点是A↔A、B↔C、D↔D对应边：AB与AC，BD与CD，AD与AD（公共边）；对应角：∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠ADB与∠ADC。（2）由全等三角形的对应角相等，得∠C=∠B=55°。（3）∵∠ADB与∠ADC是对应角，∴∠ADC=∠ADB=90°。又∵∠ADB+∠ADC=180°（B、D、C三点共线），这与上面一致∴AD⊥BC，即AD是BC边上的高线。【解析】遇到有重叠或有公共部分的全等三角形，先把公共边（公共角）找出来，它一定是对应边（对应角）。必要时可以把两个三角形在草稿纸上分开画，对应关系会更清楚。例4全等的性质在计算中的应用已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长是24cm，AB=8cm，BC=9cm。（1）求AC的长；（2）求△DEF的周长；（3）求DF的长。【解】（1）AC=24-8-9=7（cm）。（2）因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长相等所以△DEF的周长也是24cm。（3）由△ABC≌△DEF知AC与DF是对应边，所以DF=AC=7cm。【解析】全等三角形的三条边分别对应相等，因此周长必然相等，面积也必然相等。反过来要注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。

三、课时作业A组基础巩固一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列说法中，正确的是（）A.面积相等的两个三角形一定全等B.周长相等的两个三角形一定全等C.能够完全重合的两个三角形全等D.形状相同的两个三角形一定全等2.若△ABC≌△DEF，则下列结论中错误的是（）A.AB=DEB.∠B=∠EC.AC=EFD.∠C=∠F3.已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，则∠F等于（）A.50°B.60°C.70°D.130°4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=6，BC=8，则DF的长为（）A.6B.8C.6或8D.无法确定5.一个图形经过下列变换后，与原图形不一定全等的是（）A.平移B.翻折C.旋转D.放大6.如图1-4，AD是公共边，若△ABD≌△ACD，则下列各组元素中，不是对应元素的是（）A.AB与ACB.BD与CDC.∠B与∠CD.∠BAD与∠ADC7.已知△ABC≌△DEF，若△ABC中最长的边是AB，则△DEF中最长的边是（）A.DEB.EFC.DFD.无法确定8.下列图形中，一定是全等图形的一组是（）A.两个等边三角形B.两个直角三角形C.两个面积相等的长方形D.同一张底片洗出的两张同样尺寸的照片二、填空题（每小题4分，共28分）9.能够完全重合的两个图形叫做____________；能够完全重合的两个三角形叫做____________。10.全等三角形的对应边________，对应角________。11.若△ABC≌△DEF，则∠A的对应角是________，边BC的对应边是________。12.已知△ABC≌△DEF，AB=7，DF=5，EF=6，则△ABC的周长是________。13.若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠E=65°，则∠C=________度。14.两个全等三角形的面积________（填"相等"或"不一定相等"）；面积相等的两个三角形________全等（填"一定"或"不一定"）。15.如图1-4，若△ABD≌△ACD，∠BAD=30°，则∠BAC=________度。三、解答题（共28分）16.（8分）已知△ABC≌△MNP。（1）写出所有的对应顶点、对应边和对应角；（2）若AB=10cm，BC=12cm，AC=9cm，写出△MNP各边的长；（3）若∠A=55°，∠N=75°，求∠P的度数。17.（10分）如图，△ABC≌△DEF。图1-6第17题用图（1）写出图中所有相等的线段和相等的角；（2）已知AB=5，BC=6，AC=4，求△DEF的周长；（3）若△ABC的面积是11，求△DEF的面积，并说明理由。18.（10分）如图，点D在BC上，AD是△ABC的中线，且△ABD≌△ACD。图1-7第18题用图（1）指出这两个三角形的公共边，并说明它是不是对应边；（2）若AB=13，BD=5，求AC和CD的长；（3）若∠BAC=80°，求∠BAD的度数；（4）求∠ADB的度数，并说明AD与BC有什么位置关系。B组能力提升19.（8分）已知△ABC≌△DEF，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4。（1）求△ABC三个内角的度数；（2）求∠D、∠E、∠F的度数；（3）若△DEF中DE=6，EF=8，DF=10，判断△ABC中最长的边是哪一条，并说明理由。20.（8分）如图1-6，△ABC≌△DEF，AB=8，BC=10，AC=6，△ABC中BC边上的高为h。（1）写出△DEF中与h相等的线段（用文字描述）；（2）若△ABC的面积是24，求h的值；（3）求△DEF中EF边上的高。21.（8分）小明说："如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等。"（1）你同意小明的说法吗？（2）请举出一个反例说明；（3）由此你认为要判断两个三角形全等，只有角的条件够不够？为什么？C组拓展探究22.（10分）如图，把一个三角形纸片沿着一条直线翻折，使点B落在点C的位置上，折痕为AD。图1-8第22题用图（AD为折痕）（1）翻折前后的两个三角形有什么关系？为什么？（2）写出所有的对应边和对应角；（3）由此可以得到AB与AC、∠B与∠C之间有什么关系？（4）由（3）你能得出等腰三角形的一条什么性质？请用一句话表述。23.（8分）在方格纸上，小方格的边长都是1。（1）任意画一个三角形，再把它向右平移4格得到第二个三角形，这两个三角形全等吗？为什么？（2）把原三角形绕它的一个顶点旋转180°得到第三个三角形，它与原三角形全等吗？（3）把原三角形的每条边都放大到原来的2倍，得到的三角形与原三角形全等吗？为什么？（4）由（1）（2）（3）你能总结出什么规律？参考答案与解析A组基础巩固一、选择题1.C2.C3.A4.A5.D6.D7.A8.D详解：1.全等的定义就是"能够完全重合"，选C。A、B错：面积或周长相等，形状可以完全不同；D错：形状相同但大小可以不同。2.由△ABC≌△DEF知A↔D、B↔E、C↔F所以AC的对应边是DF而不是EF，C错误，选C。3.∠C=180°-60°-70°=50°，而∠F与∠C是对应角，所以∠F=50°，选A。4.AC=20-6-8=6，DF与AC是对应边，所以DF=6，选A。5.平移、翻折、旋转都不改变图形的形状和大小，得到的图形与原图形全等；放大会改变大小，不再全等，选D。6.由△ABD≌△ACD知A↔A、B↔C、D↔D所以∠BAD的对应角是∠CAD，而不是∠ADC，选D。7.AB的对应边是DE，对应边相等，所以△DEF中最长的边是DE，选A。8.两个等边三角形边长可以不同；两个直角三角形形状大小都可能不同；面积相等的长方形长宽可以不同；同一张底片洗出的同尺寸照片能完全重合，选D。二、填空题9.全等图形；全等三角形10.相等；相等11.∠D；EF12.18由对应关系：AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。所以AC=DF=5，BC=EF=6，又AB=7△ABC的周长=7+6+5=18。13.70∠B=∠E=65°，所以∠C=180°-45°-65°=70°。14.相等；不一定15.60由△ABD≌△ACD得∠CAD=∠BAD=30°所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°。三、解答题16.见解析（1）对应顶点：A与M，B与N，C与P；对应边：AB与MN，BC与NP，AC与MP；对应角：∠A与∠M，∠B与∠N，∠C与∠P。（2）MN=AB=10cm，NP=BC=12cm，MP=AC=9cm。（3）∵∠B与∠N是对应角，∴∠B=∠N=75°。在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°∵∠P与∠C是对应角，∴∠P=∠C=50°。17.（1）见解析（2）15（3）11（1）相等的线段：AB=DE，BC=EF，AC=DF；相等的角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。（2）△ABC的周长=5+6+4=15因为全等三角形的三边分别对应相等，所以△DEF的周长也是15。（3）△DEF的面积也是11。理由：两个全等三角形能够完全重合，重合的图形面积当然相等。18.（1）AD，是对应边（2）AC=13，CD=5（3）40°（4）∠ADB=90°，AD⊥BC（1）公共边是AD。由△ABD≌△ACD知A↔A、D↔D，所以AD与AD是对应边。（公共边一定是对应边，这是找对应元素的一条重要经验。）（2）AB与AC是对应边，所以AC=AB=13；BD与CD是对应边，所以CD=BD=5。（3）∵∠BAD与∠CAD是对应角，∴∠BAD=∠CAD。又∠BAD+∠CAD=∠BAC=80°，∴∠BAD=12（4）∵∠ADB与∠ADC是对应角，∴∠ADB=∠ADC。∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°（平角的定义）∴2∠ADB=180°，∴∠ADB=90°所以AD⊥BC，即AD是BC边上的高线。B组能力提升19.（1）40°，60°，80°（2）∠D=40°，∠E=60°，∠F=80°（3）AC，理由见解析（1）设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=4x°由内角和定理得2x+3x+4x=180，即9x=180，x=20所以∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。（2）由对应角相等，得∠D=∠A=40°，∠E=∠B=60°，∠F=∠C=80°。（3）△ABC中最长的边是AC，长为10。理由：DF是△DEF中最长的边（DF=10），而AC与DF是对应边由对应边相等得AC=DF=10，所以AC是△ABC中最长的边。20.（1）EF边上的高（2）h=4.8（3）4.8（1）BC与EF是对应边，所以△ABC中BC边上的高与△DEF中EF边上的高相等即与h相等的线段是△DEF中EF边上的高。（2）由三角形面积公式S=12×底×高，得24=1即5h=24，所以h=4.8。（3）由（1）知△DEF中EF边上的高等于h，所以也是4.8。也可以这样算：△DEF与△ABC全等，面积相等，都是24，且EF=BC=10由24=1221.（1）不同意（2）（3）见解析（1）不同意，小明的说法是错误的。（2）反例：边长为2的等边三角形与边长为5的等边三角形它们的三个内角都是60°，三个角分别