保险精算学期末复习题目

1.李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，(1)在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。

(2)在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。

解:(1)5000X(1+4X10%)=7000(元)

(2)5000X(1+10%)(33=7556.8(元)

2.把E000元存入银行，前5年的银行利率为8%,后5年年利率为11%,求10年末的存款累计额。

解：5000(1+8%)5X(1+11%)5=12385(元)

3.李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。(1)求在复利11%下1990年1月1日的现值。(2)在11%

的折现率下计算1990年1月1日的现值。

解：(1)10000X(1+11%)-4=5934.51(元)

(2)10000X(1-11%)4=6274.22(元)

4.假设1000元在半年后成为1200元，求

⑴，⑵i,(3)。

解：⑴;所以

，⑵2

(2)1+Z=(1+—),所以j=0.44

j("7)〃(")

⑶(1+一尸=1+，=(1-"尸=(1——

mn

所以，：

5.当时，证明：。

证明：①

因为

>1—"

所以得到，；

d(n)=fn(l-.e，n=I--+•(—)2-C1•(—)3+C：•(—)4--->I--

mmmmm

所以，d""<〃20_(1_巨)]=3

m

③3Vz"

即,

药以，产)=一1)

234

/=l+^+C^(-)+C^(-)+C；-(-)+->l+-

mmmmm

iw>n[(l+-)-l]=(y

n

④户<i

/、；(〃)；(〃);(«)

[i+二]，』+,♦U+—『=c'i+c：,一+c〉(一)2+...>i+产)

n，nnn

n

所以，"i（）<v1；

6.证明下列等式成立，并进行宜观解释：

a—：=a-.+va-.

⑴m+n\/“；

解：，，

,〃1-u〃？+i严—

Cl-r+VCl—：——Cl----

所以，m\n\j

m

a；=a--vS1

⑵m-n\m\川；

解：f,

1_M〃+/〃—产〃

a-,-v5-；=----------------------------=a-

所以，m\n\jm-n\

S=S+(l+Z)m6Z

⑶m+nmn；

解:

_(1+…1+(1+产一(1+1广

~~iI\1i/Cl—：————J;

所以，制n\j"?+〃

s——\=s--（l+i）ma-

⑷m-n\叫"I。

解：（同上题）略。

7.某人今年30岁，其计划每年初有300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额,

共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%,后20年为12%,求每年能取的养老金额。

.（1+，2尸°+5利

12

300-5-=59759.5_

所以6。岁时存款有30|（兀）

由此知，，可得X=7774.12（元）

8.某单位在20年内每年存入银行5000元建立.职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金

额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假没存款的利率为8%,求每次能够提取的最大金

额。

解：,所以（元）

9.证明：

l-vnl-vn

—=—・〃]

证明:S55H

,所以

c一

1一e

3

1-了1—(1+厂〃)_1—(/)一〃1—6一〃°

Cln\—

183-33

n8i

e一1

⑶s”§

（i+/y-i（/）〃一ii

Sn\———

证明：188d

10.假设每年笫一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保

持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%求这一年金的现值。

的

a=100•I+100(M，)9n|+1000g8|

七—8(1+，)一8

-19

解：=100(1+z)+100-^——;-------+1000---V=4362.94

1.依据生

命表的基

础填充下丸几q.、

表：

X

010001000.90.1

19001505/61/6

27501500.80.2

36003000.50.5

43001800.40.6

512012001

60

3.已知，计算：

⑴，，，，；

(2)25岁的人至少再活20,最多活25年的概率；

⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

解：⑴;

125

^33-/33-/34=1000-=-

1乙UJ

圻…士=。3

20〃30=

_"45-/50__J_

⑵20|5,25————历

p”=(媪尸=(§)3=0.074646449

⑶，2519

4.若，，求：

(De的值:

⑵生命表中的最大年龄；

⑶从出生存活到50岁的概率；

(4)15岁的人在40〜50岁之间死亡的概率。

解：⑴°所以，c=90

⑵，所以，

4

(3)50〃n0一j

’013

_/40-1502

⑷25|l0%5J

153°

5.证明并作直观解释:

⑴ntnn+m

-I

x+nx+n+mx+n

证明：巾47nrxn+nirx

xx

⑵〃囱x—nPxXq*+n；

X+ll

工+〃.i+〃+l_八7rt

7j~nPxqx+n

xx+n

Px+no

x+n+mx+nx+n+m

X

n+mPxnPxmx-\-n

证明：

xxx+n

6.证明:

o-x

x+iNx+[dt-lx

⑴JO

co-x

tPJxzdt=\

⑵JO

d

)

-/Px=lPxXx~"x+t

^dx

e

...“Px~~tPxXNx+t

⑷Ct

证明：(i)

(2)

C(o-xrco-xl—1-1rco-x-1

pLidt=[X——dl=—•[1力将=一・(/—4)=1

JotrxxJr-xx++ttJ()iJxA++tl7JoX+tJ\X+(9-XX，

"xLx+t"Alx

g°一。("二。//一以•加

tIx

dxdxlx(/J2

l,DlDI

=丁x+t(7x-+-t----厂)="仆「心

，xG+r'x

a%DiX+tIx+fY+Z

—=------

⑷次'*SxI人Ix•Xx+t

7.分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下,用课本附表1给出的生命表计算:

(/q25人⑶曝L

423

116.9802

=0.00030575

解:,254-95650.15

略。

8.若，，计算：

⑴死亡均匀分布假设；

⑵鲍德希假设；

⑶假设/X=100(X/100—x。

解：⑴：

^4()1

4

(2)可令，=1,〃

・・.〃=0.008426834

=0.008444573

41一（1一。/

9.证明在鲍德希规律下，与n无关。

・.•S（X）=1-----

①

证明：=s（x+0—s（x+〃+D=]

1S（R）co-x

所以，与n无关。

某人1C岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计

算这一年金现值。

解：（元）

2.证明下列等式成立，并解释其含义。

⑴见二町A+i；

Nx+\NiyX-D片1,,「力

a=-^―==4T="x+1

证明：x

XX

⑵落=1+9&1,

证明：母—1=9。+1

所以，落=1+VPxZ+l

a-=a-+(l-E)

⑶x:nx:nnxx;

N-VDx+nN*+。二一(乂计〃+1+£>x+")

幼+d一，E)=)=

DK

证明：Nx-N计”..

=—:----:—=a-T

训

DX

n

।aV・〃必・氏+〃

⑷n\x，。工人人T'e;

N1▼X+〃+lN1N丫x+n+\

〃巴nEx---V,nPx,=7・u

〃

证明：Dxx2+

，百

a—।=a-+vm

(5)x:nIm\x:m\

证明:

NN_Nx+〃+〃?+l

2

/NVX+l-NX+加+1

aLY

x^\F

一

Nx\m\\N.VI।nI1_Nx\m\\N

D*Dx

，Nx+l-N，x+m+l।，NLr+〃j+l-，N"*+卅+〃+1'NX+l-NX+〃J+"+l

瓦瓦=%诉

⑹P1・瓦=(I+i)ax-1

Px-X•Nx

..外PxT・Nx

证明：卜1A八tn(1+i)/_i

1F・"Dx—l・

XUPlDx_x

3.某人在50岁时以50000元的延缴净保费购买了每月给付k元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求k值。

12-1)=12h(12.26683+芸)=50000

12k=12hQo+

解：2x12

%=338.62

4.给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。

解龌：2400e1[0n|10iin3CU=2400*1i0o区3U。60公：10|=240。1U0石5。\6U---2-4----%。/U），

7.以转换函数表达下面变动年金的现值。对（X）第一年末给付1（X）（）元，以后每年比上年增加给付500元，，当

年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。

14

解：500口+500（㈤瑁+1000・俨（N）.+1000.V

8.假设对所有x,有，证明以利率i和为基础计算的终身年金现值与以和为基础计算的终身年金现值相

等。

解：以为计