高二数学下学期期末考试试题 (一)

湖北省石门县第六中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题

（时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题付要求的。

1.设/,加,〃均为直线,其中根在平面。内，则是且/_L〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5+）»共焦点且过点。（2/）的双曲线方程是（）

A.x2-=1B.-......y2=1C.-------y1=1D.

224f4='

4.曲线），=44-丁在点（1,3］处的切线的倾斜角是（）

D.-

4

r22

C:—+至=1(6/>/?>0)2

的左、右焦点为T5，离心率为3，过八的

宜线/交椭圆C于A8两点，若的周长为4右，则C的方程为（）

，2

X-旷.

片+£=]£+)3=1—+—=1—+—=1

A.32B.3•C.128D.%4

6..已知直三棱柱A8C—A4G中，乙48c=120o,A8=2,BC=CG=1,则异面直线Ag与8G

所成角的余弦值为（）

A&R岳

A.----D.------V.---

255

耳，鸟是椭圆的两个焦点，过E且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A，B两点，则A48号是正

三角形，则椭圆的离心率是()

&R6C1n1

A---D---C-I)—

2323

〃x)=e，(sinx+a)在区间[上二]上单调递增，则实数a的取值范围是()

122，

A.[&,+8)B.(1,+co)C.[l,+oo)D.(-\/2,+oo)

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选充的得3分。

9.下列结论中，所有正确的结论有()

4

A若x>0,则X+-Z4.B.若4>。，贝I]/>从

x

C.当工«°述)时,sinx+——>2

sinrD.若"b,则2">2”;

A8CD中，N&W=6QD,AC与9相交于点O，将VMD沿6。折起，使顶点A至点M处,

在折起的过程中，下列结论正确的是()

A.BDLCM

B.存在一个位置，使VCDW为等边三角形

C.OM与8C不可能垂直

DM与平面68所成的角的最大值为60°

工+工=1表示的曲线为C给出以下四个判断，其中判断正确的是()

4Tt-\

1</<4时，曲线。表示椭圆

B.当/>4或/<1时，曲线，表示双曲线

C.若曲线。表示焦点在x轴上的椭圆，则1</<工

2

，表示焦点在y轴上的双曲线，则/>4

12.对于函数/(“=当，下列说法正确的是()

A./("在x=&处取得极大值1

2e

B./(A)有两个不同的零点

C./(2)</(^)</(V3)

D.若在(0,+oc)上恒成立，则攵>5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线H+上=1（。＞（）力＞0）过点（1,2）,则2a+b的最小值为

ab

14.若4=（2,—1,2）,〃=（6,-3,2）,且（〃+/1力）_1。，则实数丸=.

15.曲线/（x）=/+2x—e'在点（0,7（0））处的切线方程为.

16.函数/（月=/-1112］的单调递减区间是

四、解答题：本题共6小题，共7（）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面5m时,桥洞水面宽为8m4m，高2m

的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为am,要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离

4

拱顶的高度至少为多少？

，其渐近线方程为'=士后

18.（12分）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点

（D求双曲线C的标准方程.

（2）是否存在被点以覃）平分的弦?如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理

由.

19.（12分）如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8CO为矩形，平面PCO_L平面

ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=g，E为PB中点、.

p

-

(I)求证：〃平面ACE；

(II)求二面角E—AC—。的余弦值;

在棱PO上是否存在点使得AM_L3。？若存在，求器的值；若不存在，说明

(III)

理由.

20.（12分）已知函数/（x）=gd-4x+4,

（1）求八”）的单调区间;

（2）求f（x）在［0,3］上的最大值和最小值.

2L⑴分）如图，椭圆幡+*叱八。）经过点施”且离心率为冬

（1）求椭圆C的方程;

（2）经过点（1,1）,且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P,。（均异于点A），证明：直线

AP与AQ的斜率之和为定值

22.（12分）已知函数，（x）=lnx-ov.

（1）讨论/"）在其定义域内的单调性；

（2）若4=1,且/（再）=/（电），其中0<X1V%2，求证：出+与+X1%2>3.

数学答案

一.选择题：1-5.

三.填空题：

13.8

14.--

19

15.答案：y=x-1

16.

四.解答题：

17./?m时，船恰好能通过.

设抛物线方程为丁=-2〃），（〃>0）1分

所以42=—2px(—5),得p=g,故工2=-4)，5分

当船恰好能通过时，设船宽等于伊夕|,则点B的横坐标为2,代入得点B的纵坐

5

标y'=

4

所以万=|)[+;=?+：=2,10分

因此,水面距离拱顶至少2m,船才能顺利通过此桥.

18.（12分）答案：（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为'=±五。可设双

2丁/如［

x---=A.,，

曲线方程为2,代入I）,可得4=1,所以双曲线C的标准方程为

/上1

2......5分

（2）假设存在被点3（5）8（覃）是弦MN的中点，设”（公凹），八（4，必），

则%+毛=2/+%=2.因为点M,N在双曲线c上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即

］八二］

22~'两式相减得2（4+工2）（演一。）一（乂一%）（％+丫2）=°,所以4（7一十）=2（，一%）,

所以直线1的斜率价斗一看,所以直线1的方程为y-1=2（1-1）,即

2、—yT=°.......9分

联立直线1与双曲线方程得［24-）'-1二°，消去y,得2寸-41+3=0,显然

△=16-4x2x3=-8<0,所以直线1与双曲线无交点，所以直线1不存在，故不存在被点网罩）

平分的弦.......12分

19【解析】（I）设80交AC于点尸，连结矿.

因为底面A8C。是矩形，所以/为中点.

又因为£为“中点，所以政〃。。.

因为PO仁平面AC及即U平面ACE,所以〃平面

ACE.......4分

（II）取CO的中点°,连结p°,F0.

因为底面ABCD为矩形,所以8c_LCD.

因为PC=PD,。为CQ中点，

所以尸0_LCOO/〃8C,所以OF_LCQ

又因为平面PCD_L平面ABC）,P°u平面PCO,平面PCDC平面ABCD=CD.

所以PO_L平面ABCD,

A(1,-1,O),C(0,1.0),B(1,1.O),P(O,O,1),E(-,-,-)

如图，建立空间直角坐n标V系V7则222,

AC=(T,2,0),A£=(一二，!)

设平面4CE的法向最为"?=（乂乂z）222

一x+2y=(),

ACm=(\x=2y,

4n131n

AE-in-0—x4—yH—z=0z=_y.

所以22，2

令y=l,则x=2,z=-l,所以〃?=（2,L-D

cnm・OP\/6

cos</w,OP>=j--j=----

平面AC。的法向量为°P=（O，°，1）,则卬憎6.

如图可知二面角E-AC-。为钝角，所以二面角E-AC-O的余弦值为6.......8

分

（山）在棱。。上存在点M,使AA/J_3Q.

PM〜

设而=则PM=2PD,ZX0,-l,0）

因为（苞y,z-1）二2（0,-1,一1）所以M。-21一4）

4M=（-1,1一九1一㈤,BD=（-1,-2,0）

因为AM_1_所以人〃・6。=0

Z=ie[0,l]

所以1-2（1-力=0,解得2

PM_1

所以在棱物上存在点M,使AM_L8。，且尸。2...............12

分

20.答案：(1)因为=4x+4,所以r(x)=/-4=(x+2)(x-2)

由/'(力>0得XV-2或x>2

故函数〃X）的单调递增区间为（-8,-2）,（2,*o）；

由，（“<。得-2vxv2,故函数外力的单调递减区间为（-2,2）..........................6

分

（2）令/（x）=f-4=0得户±2

由（1）可知，在［0,3］上/⑴有极小值"2）=-［

而/（0）=4J（3）=l,

_4<1<4_4

因为一§<<所以/（力在［°同上的最大值为4,最小值为一..............12分

21.答案：（1）由题设知£2，

结合/=l）-+c2,解得a=\2,b=1

2

所以椭圆的方程为与+丁=

1.4分

（2）证明：由题设知，直线PQ的方程为y=4（工一1）+1伏工2）,♦.6分

2

代入5+），2=1,得（］+2公）/一以（女-1）工+2&（攵-2）=0

由已知△>0,设P（x},,）,2•3%），与与工。»

则…8分

1-1+2/Jl+2k2

从而直线AP,AQ的斜率之和

,.y,+1y\+1kx.+2-kkx^+2-k

K

入M十IV一十一十

与x2Xx?

=2k+(2-kK—+—)=2k^(2-k)^-^-.…….10分

%x2X1X2

=2"（2_幻葬_；=2&_2（—（定值）得证…….12分

22.答案：（1）/@）=,一。=匕竺

xx

［1］当440时，则/（外在区间（0,收）上单调递增；…….3分

⑵当a＞0时.，（0」）,/'。）＞（）,/*）在区间（0,-）上单调递增；

aa

•¥£（1,+00）,/''（幻＜0,/。）在区间d,+8）上单调递减；....5