2026新教材数学 25.2.1 配方法九年级上册

25.2.1配方法（第1课时）

2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章

一元二次方程平方根：一般地，如果一个数的平方等于

a，那么这个数叫作

a的平方根．也就是说，如果

x2＝a，那么

x叫作

a的平方根．当

a为正数时，a有两个平方根，即

x的值有两个，分别为当

a为

0

时，a的平方根是

0，即

x的值是

0；当

a为负数时，a没有平方根，即

x的值不存在．若

x2＝4，你能说出

x的值是多少吗？平方根的定义直接开平方x＝±2利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法．x1＝2x2＝－2问题一元二次方程求解的关键是“降次”，即把二次方程转化为一次方程．解下列三个方程：①

x2＝6；②x2＝0；③x2＝－6．问题1解：①

x2＝6，x＝所以

x1＝x2＝②x2＝0，所以

x1＝x2＝0；③x2＝－6，因为任意实数的平方都是非负数，所以方程无实数根．在形式上有什么共同点？x2＝6x2＝0x2＝－6x2＝p形式相同，为什么解的情况不一样？解的情况取决于p的取值．归纳

一般地，对于方程

x2＝p，

（1）当

p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根

x1＝

x2＝

（2）当

p＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝

x2＝0；

（3）当

p＜0时，因为对任意实数

x，都有

x2≥0，所以方程无实数根．

解形式为

x2＝p的一元二次方程时，可以直接根据

p的符号来判断方程根的情况．一般说方程有两个相等的实数根，而不是一个实数根.对照上面解方程

x2＝4的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？问题2分析：x2＝4平方根的意义x＝±2x1＝2x2＝－2“降次”一元二次方程“降次”为两个一元一次方程(x＋3)2＝5类比求解？左边：(x＋3)2右边：5看成一个整体对照上面解方程

x2＝4的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？问题2解：(x＋3)2＝5，直接开平方，得

x＋3＝即

x＋3＝或

x＋3＝所以

一元二次方程一元一次方程降次对于完全平方形式的一元二次方程，可以用直接开平方法解方程，即利用平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解．例

解下列方程：（1）4x2－3＝0；（2）(x＋2)2－9＝0．分析：移项,二次项系数化为1x2＝p，或(x＋n)2＝p直接开平方解：（1）移项，并将二次项系数化为

1，得

x2＝由此可得

x＝即

例

解下列方程：（1）4x2－3＝0；（2）(x＋2)2－9＝0．分析：移项,二次项系数化为1x2＝p，或(x＋n)2＝p直接开平方解：（2）移项，得

(x＋2)2＝9．由此可得

x＋2＝±3，x＋2＝3，或

x＋2＝－3，即

x1＝1，x2＝－5．归纳利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程转化为

x2＝p

或(x＋n)2＝p(p≥0)的形式，即等号左边是完全平方、右边是大于等于0的常数的形式；（2）利用平方根的意义“降次”，将一元二次方程化为两个一元一次方程；（3）解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．解：（1）移项，得

x2＝9．由此可得

x＝±3，即

x1＝3，x2＝－3．（2）移项，并将二次项系数化为

1，得

x2＝4．由此可得

x＝±2，即

x1＝2，x2＝－2．1．解下列方程：（1）x2－9＝0；

（2）2x2－8＝0；1．解下列方程：（3）9x2－5＝3；

（4）(x＋6)2－9＝0；解：（3）移项，并将二次项系数化为

1，得

x2＝由此可得

即1．解下列方程：（3）9x2－5＝3；

（4）(x＋6)2－9＝0；

解：（4）移项，得(x＋6)2＝9．

由此可得

x＋6＝±3，x＋6＝3，或

x＋6＝－3，即

x1＝－3，x2＝－9．1．解下列方程：（5）3(x－1)2－6＝0；

（6）x2－4x＋4＝5．解：（5）移项，并将二次项系数化为1，得(x－1)2＝2．由此可得

x－1＝x－1＝或

x－1＝即1．解下列方程：（5）3(x－1)2－6＝0；

（6）x2－4x＋4＝5．解：（6）将左边变形，得(x－2)2＝5．由此可得

x－2＝x－2＝或

x－2＝即利用直接开平方法解一元