2026新教材数学 25.3 实际问题与一元二次方程 九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程

（第1课时）

2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章

一元二次方程用方程解决实际问题的一般步骤．（1）审：读懂题意，区分已知量和未知量，挖掘等量关系；（2）设：合理假设未知数，用代数式表示出其他相关量；（3）列：依托等量关系列出方程；（4）解：解方程，求出未知数的值；（5）验：检验方程的解是否符合实际问题的意义；（6）答：根据题意规范写出结论．问题一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程都是刻画现实数量关系的数学模型，可以解决许多实际问题．一元二次方程同样是重要的数学模型，它能帮助我们解决哪些类型的问题呢？本节课我们共同学习“实际问题与一元二次方程”．问题是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？问题1如何用未知数表示？分析：设三边长分别为

x，x＋1，x＋2（x为正整数）．等量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理斜边长是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？问题1解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为

x，x＋1，x＋2，其中

x为正整数．由勾股定理，得x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2．解方程，得

x1＝3，x2＝－1．这两个根是否都符合题意？舍去是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？问题1因此

x＝3．三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为

3，4，5．归纳解决几何存在性问题，一般先合理假设未知数，依托几何性质找到等量关系建立一元二次方程；求出方程的根后，需要根据实际意义对方程的根进行检验和取舍，最终得出结论．用一根长为

40m的细绳，能否围成一个面积为

96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？问题2分析：长为40m矩形周长为40m长＋宽＝20m等量关系：矩形面积＝长×宽设矩形一边长为

xm邻边长为(20－x)m用一根长为

40m的细绳，能否围成一个面积为

96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？问题2解：设矩形的一条边长为

xm，由矩形的周长为

40m，可得这条边的邻边长为(20－x)m；再由矩形的面积为

96m2，得

x(20－x)＝96．解方程，得

x1＝12，x2＝8．是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？用一根长为

40m的细绳，能否围成一个面积为

96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？问题2当

x＝12时，邻边长为

20－x＝8；当

x＝8时，邻边长为

20－x＝12．两个根对应的是同一矩形的一组相邻边，只是长和宽相互调换，所以满足条件的矩形只有一个，其两邻边长分别为

8m，12m．方程有两个实数根不一定表示问题有两个不同的解，要结合问题的实际背景进行判断．用一根长为

40m的细绳，能否围成一个面积为

96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？问题2设矩形的两邻边长的方法有多种．例如：（1）可设一边长为

xm，那么其邻边长为m；（2）可设一边长为

(10＋x)m，那么其邻边长为(10－x)m．你能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗？问题2（方法一）设一边长为

xm，那么其邻边长为m．由矩形的周长为

40m，得

整理，得

x2－20x＋96＝0．解方程，得

x1＝12，x2＝8．经检验，x1＝12，x2＝8是原方程的解．矩形周长40m，面积96m2．（方法二）设一边长为(10＋x)m，那么其邻边长为(10－x)m．由矩形的面积为

96m2，得(10＋x)(10－x)＝96，解方程，得

x1＝2，x2＝－2．当

x＝2时，边长为10＋2＝12，10－2＝8；当

x＝－2时，边长为10－2＝8，10＋2＝12．比较这三种设未知数的方法，它们在运算上有什么不同？解题时应该如何选择？问题2矩形周长40m，面积96m2．原设法：设矩形的一边长为

xm，则邻边长为(20－x)m．

x(20－x)＝96．方法二：设矩形的一边长为(10＋x)m，则邻边长为(10－x)m．(10＋x)(10－x)＝96．方法一：设矩形的一边长为

xm，则邻边长为m．利用“和为定值”设未知数，将乘积转化为平方差形式，方程可直接开平方求解．设法出发点方程形式运算特点原设法周长一元二次方程（一般式）直接，较简便方法一面积分式方程需要去分母、检验，较繁琐方法二周长平方差形式最简便，计算量小未知数的假设方式直接决定方程的运算难度．解题时要学会观察题目条件，灵活选择能简化计算的设元方法，减少计算量．问题2归纳利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是结合题意和图形准确表示矩形的长、宽，依托等量关系建立方程并求解．解：设矩形的长为

xm，宽为(20－x)m．当矩形面积为

75m²时，x(20－x)＝75，解方程，得

x1＝15，x2＝5．两个根对应同一个矩形．所以，矩形的长为

15m，宽为

5m时，面积为

75m²．1．怎样用一根长为

40m的细绳围成一个面积为75m²

的矩形区域？能围成一个面积为

101m²的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．矩形周长矩形面积＝长×宽1．怎样用一根长为

40m的细绳围成一个面积为75m²

的矩形区域？能围成一个面积为

101m²的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．当矩形面积为

101m²时，x(20－x)＝101，化为一般形式，得

x2－20x＋101＝0．a＝1，b＝－20，c＝101，Δ＝b2－4ac＝(－20)2－4×1×101＝－4＜0．此方程无实数根，所以不能围成面积为

101m²的矩形区域．矩形周长矩形面积＝长×宽2．如图，矩形

ABCD的两条邻边

AD＝1，CD＝4，AB上是否存在点

E，使得

∠DEC为直角？分析：矩形的性质CD＝BA，AD＝BC；∠A＝∠B＝90°勾股定理建立一元二次方程2．如图，矩形

ABCD的两条邻边

AD＝1，CD＝4，AB上是否存在点

E，使得

∠DEC为直角？解：假设存在点

E．设

AE＝x，则

0＜x＜4．∵四边形

ABCD是矩形，∴

CD＝AB＝4，AD＝CB＝1，∠A＝∠B＝90°．∴

BE＝4－x．在Rt△ADE

和Rt△BCE

中，由勾股定理，得DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BC2＋BE2．2．如图，矩形

ABCD的两条邻边

AD＝1，CD＝4，AB上是否存在点

E，使得

∠DEC为直角？若∠DEC为直角，则

DC2＝DE2＋CE2．即

DC2＝AD2＋AE2＋BC2＋BE2，即

42＝12＋x2＋12＋(4－x)2．解方程，得经检验，