第30章 直线与圆的位置关系 《综合与实践》第2课时 教学课件2026-2027学年九年级数学人教版九上

第三十章直线与圆的位置关系

综合实践《生活中的优化问题》

第2课时

产品包装箱的设计与提出问题并解决

学习目标：1.会把圆柱装箱问题转化为长方体表面积计算，掌握齐排、错排的尺寸计算方法。2.枚举不同排列方案，计算、对比包装箱表面积，找到最优方案。3.体会优化思想，感受数学在包装、生产节约材料中的应用，学会小组合作探究。教学重点:探究单层、多层圆柱产品不同排列方式下包装箱表面积的计算，比较选出最省材料方案。教学难点:理解错排列时底面宽度的几何推导，区分齐排与错排的尺寸差异。为什么包装箱的设计很重要？一家饮料厂要把圆柱形饮料罐装进行李箱运往全国各地。每箱装12罐，怎么摆、箱子做多大，才能最省包装材料？包装材料是有成本的箱子越大，花钱越多浪费空间=浪费运费车上装的箱数也少了优化排列方式同样数量，用料更少【图片占位：饮料装箱实景】今天我们就来当一回包装设计师，找出最省料的装箱方案！创设情景

生活中，我们会见到各种各样的产品包装箱。产品包装箱的纸张浪费和垃圾等问题，开始成为社会治理的新问题。如何用更少的包装纸来包装更多的商品，对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的。接下来，我们以圆柱体和长方体形状产品的包装箱为例，从数学的角度探究产品包装箱用料最小问题。探究新知任务1.当圆柱体产品单层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式。提示：要确定圆柱体产品的长方体包装箱的表面积，在知道圆柱体的底面半径和高的情况下，主要考虑产品的排列方式，排列方式有齐排列和错排列两种（图4是12个圆柱体产品按2×6的方式齐排列和错排列的底面示意图）。（1）当圆柱体产品底面半径r=60

mm，高h=123

mm，规格为12个/箱时，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小？（2）对于(1)中的圆柱体产品，按照错排列的方式，有几种方案？分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小？（3）综合比较齐排列与错排列的方式，找出最省料的包装方式。探究新知任务2.当圆柱体产品多层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式。当圆柱体产品底面半径r=60mm，高h=123mm，规格为12个/箱时，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱的表面积，哪种方案的包装箱表面积最小？任务3.类比上述解决圆柱体产品包装箱表面积最小问题的方法，研究长方体产品的包装箱表面积最小的问题.（选做.）今天我们要闯三关1任务一：单层排列，怎么放最省料？一层放12罐，研究齐排列和错排列，算出每种方案的表面积2任务二：多层排列，叠起来会更省吗？分几层放，每层放几个，研究多层齐排列的最优方案3任务三（选做）：如果产品是长方体呢？迁移方法，研究长方体产品的装箱优化规律任务1单层排列单层：包装箱高度=圆柱高123

mm（1）齐排列（整齐矩阵摆放，行列对齐）

12的整数分解（行数×列数）：1×12,2×6,3×4,4×3,6×2,12×1由于m×n和n×m只是旋转，包装箱尺寸一样，只算3种方案：方案①：1行12列长=12×120=1440

mm，宽=1×120=120

mm，高=123

mm表面积S1=2×(1440×120+1440×123+120×123)=2×(172800+177120+14760)=729360

mm2

​讲解新知任务1单层排列方案②：2行6列长=6×120=720

mm，宽=2×120=240

mm，高=123

mmS2=2×(720×240+720×123+240×123)=2×(172800+88560+29520)=581760

mm2方案③：3行4列长=4×120=480

mm，宽=3×120=360

mm，高=123

mmS3=2×(480×360+480×123+360×123)=2×(172800+59040+44280)=552240

mm2结论：齐排列一共3种方案；3行4列方案表面积最小。​讲解新知讲解新知任务1单层排列单层：包装箱高度=圆柱高123

mm任务一·全部方案对比所有方案大比拼：谁最省料？排列方式长（mm）宽（mm）高（mm）表面积（mm²）齐排1×121440120123706320齐排2×6720240123537120齐排3×4480360123519120错排两行6+6720≈223.92123≈506176错排三行4+4+4480≈327.84123≈496444最优方案：单层错排，三行4+4+4，表面积最小≈496444mm²讲解新知任务2多层齐排列多层齐排列：所有整数分解方案对比找m×n×k=12，k为层数，包装箱高c=k·h排列(m×n×k)长a(mm)宽b(mm)高c(mm)表面积S(mm²)1×1×1214401201476(12h)很大1×2×6720120738(6h)较大1×3×4480120492(4h)中等2×2×3360(3d)240(2d)369(3h)570960（最小）多层齐排列最优：2×2×3（每层6个，共3层），表面积570960mm²错排列：两种方案，哪种更省？单层错排，相邻两行圆心竖直距离=√3r≈103.92mm，包装箱高度仍为123mm错排方案行数长(mm)宽(mm)表面积(mm²)方案①6+62行720≈223.92≈506,176方案②4+4+4✓3行480≈327.84≈496,444对比齐排列最优方案：错排三行（4+4+4）表面积≈496,444mm²比齐排列最优的519,120mm²又节省了约4.4%——错排确实更省料！讲解新知任务一vs任务二·对比单层错排vs多层齐排，谁更省料？单层错排最优三行4+4+4表面积≈496444mm²更省料多层齐排最优2×2×3（3层，每层6个）表面积=570960mm²用料更多为什么单层错排反而更省料？因为多层叠放后，包装箱高度变大了，侧面积也跟着变大。任务三·拓展探究（选做）如果产品是长方体呢？用今天学的方法，自己来探究：第1步设小长方体长宽高，枚举所有整数分解组合第2步每种排列算出外包装箱长宽高第3步计算每种方案的长方体表面积第4步比较大小，找到表面积最小的摆放方式发现规律：相同体积下，外包装箱越接近正方体，表面积越小，用料越省！讲解新知讲解新知活动四

提出问题并解决案例1.手机套餐费用优化提出问题：某运营商有两种流量套餐。套餐A：月租20元，包含5GB流量，超出部分每GB收费3元；套餐B：月租40元，包含15GB流量，超出部分每GB收费2元。每月使用多少流量时，选哪个套餐更省钱？解决过程设每月使用流量为xGB。当0<x≤5：套餐A花费20元，套餐B花费40元，选A省钱。当5<x≤15：套餐A费用：yA=20+3(x-5)=3x+5

套餐B费用：yB=40

令3x+5=40，解得x=11.67。当5<x<11.67时选A；当11.67<x≤15时选B。3.当x>15时：yA=3x+5，yB=40+2(x-15)=2x+10

令3x+5=2x+10，解得x=5（不在此区间），当x>15时选B省钱。结论：每月流量少于11.67GB，选套餐A；每月流量多于11.67GB，选套餐B。讲解新知活动四

提出问题并解决案例2.围栏围矩形场地优化。提出问题：用总长40m的篱笆，靠墙围一块矩形菜园（墙足够长），怎样围能让菜园面积最大？

解决过程设垂直墙的边长为xm，平行墙边长为(40-2x)m，面积S=x(40-2x)=-2x2+40x二次函数开口向下，顶点的横坐标为x=10。此时垂直墙边长10m，平行墙边长40-2×10=20m。最大面积S=10×20=200m2。结论：垂直墙一侧取10m，平行墙一侧取20m，菜园面积最大。课堂小结1课堂小结21.下列问题属于优化最值问题的是（

）A.证明两个三角形全等B.用篱笆围矩形，求最大面积C.求一元二次方程的根D.求圆的周长2.把若干圆柱单层整齐摆进长方体包装箱，在齐排列的方案里，下面说法正确的是（

）A.排列的行数越多，表面积一定越大B.包装箱底面的长、宽越接近，表面积越小C.圆柱的高度不影响包装箱表面积D.错排列一定比齐排列省包装纸分层练习B3.固定体积的长方体，长宽高越接近，长方体的表面积越______。4.总长24m篱笆靠墙围矩形花圃，当垂直墙的边长为____m时，花圃面积最大。B小6分层练习5.有8个圆柱形零件，底面直径10cm，高15cm，单层齐排装入长方体包装箱。写出两种排列方案，比较哪个方案包装箱表面积更小。解：8的整数分解：1×8、2×4方案①：1行8列长=8×10=80cm，宽=10cm，高=15cmS1=2×(80×10+80×15+10×15)=3100

cm2

方案②：2行4列长=4×10=40cm，宽=2×10=20cm，高=15cmS2=2×(40×20+40×15+20×15)=2600

cm2

∵2600<3100∴2行4