2026新教材数学 29.2.1　垂直于弦的直径 教学课件 -初中数学人教版九年级上册

29.2.1

垂直于弦的直径第二十九章29.2圆的有关性质2026-2027学年人教版数学九年级上册学习目标1.通过折叠、作图等方法，探究圆是轴对称图形，理解圆的轴对称性.2.利用圆的轴对称性，探索垂径定理，理解垂径定理的内容与其推论的内容.(重点)3.会利用垂径定理与其推论进行简单的证明和计算，并在解题过程中提高解决问题的能力与数学应用意识.(难点)情境引入剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？你能得到圆具有怎样的对称性？你能证明这个结论吗？它有什么作用？本节课我们将要学习这个问题.一、垂径定理问题

(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的

都是圆的对称轴，即圆有

条对称轴.理由：如图所示，设AB是☉O的任意一条直径，如果M为☉O上点A，B以外的任意一点，M'是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM'的

.因为圆心O在AB上，所以OM'=

，因此点M'在

上.

直线无数垂直平分线OM☉OM'N

知识梳理垂径定理的内容如表.内容符号表示垂直于弦的直径

，并且平分弦所对的______

平分弦两条弧

例1

(课本P124例1)如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1

400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37

m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23

m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位).

例1

(课本P124例1)如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1

400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37

m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23

m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位).

反思感悟本题的求解过程给我们两点启示：①垂径定理中的“径”，不仅仅是指一条直径，还可以是一条半径，或者是一条经过圆心的直线；②因为利用垂径定理能得到直角三角形，所以垂径定理常与勾股定理相结合，并且这个直角三角形很有特点，即斜边是圆的一条半径，另两条直角边分别是弦的一半与弦心距.

√

(2)如图，AB为☉O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D.如果AB=10

cm，CD=3

cm，那么☉O的半径是

cm.

二、垂径定理的推论知识梳理垂径定理的推论内容如表.内容平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧符号表示

主要应用①得到直线之间的垂直关系；②得到相等的弧；③与垂径定理、勾股定理相结合进行计算例2如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5

m，拱门最下端AB=1.8

m.(1)求拱门最高点D到地面的距离；

例2如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5

m，拱门最下端AB=1.8

m.

解如图2，在点O下方作弦EF⊥CD，使得EF=2

m，设EF与CD交于点J，连接OE.∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ=JF=1

m.例2如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5

m，拱门最下端AB=1.8

m.

例2如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5

m，拱门最下端AB=1.8

m.

解

由题意得OG=1.5

m，OH=0.5

m，∴GH≈1.414

m，GI=2.828

m，∵0.5>0.082，2.828>2，∴搬运该桌子时能够通过拱门.反思感悟垂径定理与其推论的文字类似，是两个极易混淆的定理，因此容易出现用错用混的错误.实际上，它们明显的不同是已知条件不同，前者的已知是直径与弦垂直，而后者是直径平分弦(不含直径).

√

课堂小结1.下列说法正确的是A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧√随堂演练随堂演练解析垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项A正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，选项B错误；垂直于直径的弦被直径平分，选项C错误；过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项D错误.

√随堂演练随堂演练

3.河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦AB长为16

m，轮子的吃水深度CD为2

m，则轮子的直径为A.34

m B.