陕西商洛市2027届高三上学期学情调研数学试卷（含答案）

2027届高三学情调研试题(卷)注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据6,8,4,5,12的75%分位数为2.设全集U={x∈Z|x²<5},集合A={0,1,2},B={-1,0,2},则C(A∩B)=A.{0,2}B.{-2,-1,1}C.{-1,1}3.已知平面向量a,b不共线，且4a-yb=-xa+2b,则A.x=4,y=2B.x=-4,y=24.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是A.f(x)=(x+1)²B.f(x)=2*+2C.f(x)=cos5.已知圆x²+y²=4经过双曲线C(a>0,b>0)的焦点，且双曲线C的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为BDA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=2x²-alnx在区间(1,+∞)上单调递增，则正数a的取值范围为A.(4,+∞)B.(4,+∞)C8.已知等差数列{a}与等比数列{b}的首项均为1,公差与公比均为2.将数列{b。中的所有项按中a,与a+1之间插入2k-1项{b}中的项，该新数列记作{c,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函,将y=f(x)的图象沿x轴的正方向平移φ(0<φ<4π)个单位长度，得到y=g(x)的图象，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，则下列结论正确的有A.函数f(x)在区间()单调递增B.函数g(x)的最小正周期为2πC.函数f(x)与g(x)有相同的对称轴D.φ的可能取值为π,3π10.数列{a为等差数列，S为其前n项和.已知a₃=2,S₉=90,则下列结论正确的有A.a₅=10B.|aₙ}为递减数列11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,且M,N两点在抛物线C上，0为原点，下列结论正确的有A.抛物线C的准线方程为x=-1B.存在点M,使得△OMF为等腰直角三角形D.若OM⊥ON,则直线MN恒过点Q(4,0)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复的共轭复数为13.一个圆柱的体积和底面周长均为2π,若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积14.将1,2,3,…,9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将1,6填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为61(第14题图)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3acosC=csinA.(1)求角C的大小；(2)若c=2,△ABC的面积为√3,求△ABC的周长.16.(本小题满分15分)如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°,0,M分别为(2)求平面SOA与平面MOA夹角的余弦值.(第16题图)17.(本小题满分15分)2026年3月1日开始，我国PM₂.5(可人肺颗粒物)执行过渡阶段浓度限值，即PM₂5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～60微克/立方米之间(包括35,60)空气质量为二级.某地区8月份中两个星期的PM₂5日均监测数据(单位：微克/立方米)如下：星期日星期一星期二星期四(1)从这两个星期的PM₂5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级的概率；(2)从这两个星期的数据中任取三天数据，记X表示抽到空气质量达到一级的天数，求X的分布列和数学期望；(3)记这两个星期样本的方差为S²,将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后12天数据的样本方差为S²,判断S²,S²的大小.(结论不要求证明)高三数学试题-3-(共4页)18.(本小题满分17分) 过圆0:x²+y²=9上的动点M向x轴作垂线，垂足为D,动点N满足DN=2NM.(1)求动点N的轨迹E的方程；(2)过点P(-4,0)且斜率不为0的动直线l与E相交于A,B两点，AB的中点为Q,(i)证明：直线I与0Q的斜率之积为定值；(ii)求△OAB面积的最大值.19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x²+mx-ne*-1,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y-2=0.(1)求实数m,n的值；(2)求证：f(x)存在两个极值，且两极值均小于0;(3)若函数y=kx与f(x)图象有三个不同的交点，求证：k<0.,2027届高三学情调研试题(卷)数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】将样本从小到大排列为：4,5,6,8,12,由5×75%=3.75,所以75%分位数为8.2.B【解析】依题意U={x∈Z|x²<5|={-2,-1,0,1,2故C,(A∩B)=|-2,-1,1}.所以(4+x)a=(2+y)b,因为a,b不共线，所以4+x=2+y4.B【解析】A中函数在区间(0,+∞)上单调递增，但不是偶函数，C中函数是偶函数，但在区间(0,+∞)上不单调递增，D中函数的定义域为(0,+∞),不是偶函数，故排除A,C,D.所以双曲线C的渐近线方程为y=±√3x.所以cosA=cosB,充分性得证；7.D【解析】函数f(x)=2x²-alnx的定义域为(0,+∞),8.C【解析】数列{c中a+1之前插入的|b中的项数为1+3+5+…+2k-1=k²,当k=14时，数列{c}中a+1之前插入的{b。}中的项数为196,所以数列{c中a₁₅之前(包括a₁₅)共有196+15=211项，而在a₁₄与a₁₅之间插入了2×14-1=27项，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分.的最小正周期为2π,所以函数g(x)的最小正周期为2π,B正确；由f(x)的图象与平移后图象的对称性易知，C,D正确.因为所以a₅=10,A正确；高三数学试题-答案-1(共5页)高三数学试题-答案-2(共5页)数列|a|的各项依次为：-6,-2,2,6,…,故D正确.11.ACD【解析】对于A,因为抛物线C:y²=4x,故其准线方程为x=-1,A正确；对于C,由题得F(1,0),设直线MN的方程为x-1=my,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),所以y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4,当且仅当m=0时，等号成立，此时直线MN的方程为x=1,故△MNO面积的最小值为2,C正确；对于D,设直线OM的方程为y=kx,显然k≠0,联立得k²x²-4x=0,因为OM⊥ON,则用代换k可得N(4k²,-4k),当k存在时则直线MN的方程为即,此时经过定点Q(4,0),综上，直线MN恒过定点Q(4,0),D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析其共轭复数为13.【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则π²h=2πr=2π,解得r=1,h=2.依题意当球外接圆柱时，该球的体积最小.所以该球的最小体积14.12【解析】根据题意，由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，则数字9在左上角，如图，9abc6def1易得7和8必须排在a或c的两个位置，有A2种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在e,f位置，有C2种方法，又0<A<π,所以sinA≠0,又0<C<π,所以……………………(6分),所以a+b=4,………所以AO⊥BC,SO⊥BC,…………………所以BC=√2²+2²=2√2,0A=√2.所以OA²+OS²=SA²,则SO⊥A0.…………(8分)又MOC平面SBC,所以MO⊥A0.又M为SC的中点，高三数学试题-答案-3(共5页)高三数学试题-答案-4(共5页)(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,所以X的分布列如下所示：X0123故.………………(12分)(3)S²>S2.理由如下：方差反映数据的波动大小，原样本包含最大值和最小值，数据波动较大；去掉最大值和最小值后，剩余数据的波动减小，离散程度降低，因此方差减小.…………………(15分)18.解：(1)设M(x₀,y%),N(x,y),则D所以故动点N的轨迹E的方程…………………(5分)消去x得(4t²+9)y²-32ty+2△=(-321)²-4×28(4t²+9)=16×9(4t²-7)>0,即,…………………(7分)所以,从故,………………………(9分)所以直线0Q的斜率,………………(10分)显然t≠0,所以直线l的斜率故直线l与0Q的斜率之积为定……………(ii)由(i)可知…………(13分)点O到直线1的距离,…………(14分)所以故△OAB面积的最大值为3.……………(17分)分)又曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y-2=0,解得m=2,n=1.…………………令g(x)=2x+2-e,则g'(x)=2-e³,所以存在),x₂∈(1,1.73),使得g(x₁)=g(x₂)=0.故f(x)存在两个极值.……………………(8分)因为2x₁+2-e¹=0,2x₂+2-e2=0,…………………………(11分)显然x=0不是此方程的根；令,则,………(12分)令H(x)=x²+(1-x)eˣ+1,