人教版数学八年级上册 第13章 三角形（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第13章三角形·拔尖卷【新教材人教版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（

）A．点A B．点B C．直线AB上 D．无法确定2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，若a=5，b=4，则c的值不可能为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（

）A．AG是△ABE的角平分线B．CH为△ACD边AD上的高C．BE是△ABD边AD上的中线D．AH为△AFC的高线4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=∠C；③∠A=12∠B=13∠C；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=10°，则∠BAC的度数为（

）A．70° B．50° C．70°或50° D．70°或30°7．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE、CE、Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=3cmA．15cm2 B．14cm2 C．8．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，AB∥CD，点G在直线AB上，点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在GH所在直线的左侧，若∠GKH=60°，点P为线段KH上一点（不与K、H重合），连接PG并延长到M，设∠KHC=n∠KGP，要使得∠AGM∠GPH为定值，则nA．1 B．2 C．3 D．49．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折使B最终落在BC边上，若∠FEA"=108°，则∠A．43∘ B．42° C．41° D．10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为直线AB上方一点．若∠BEP的角平分线与∠DFP的角平分线交于点H，∠EPF的角平分线与∠PFC的角平分线交于点G，PG交EH于点M，∠GFP=55°, ①∠GFH=90°；②∠PFH−∠PEH=∠EHF；③∠PGF=110°；④∠PEM=∠EPM．正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简：2a−b−c212．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_____．13．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，E是AB边上一点，将△BDE沿DE折叠至△B′DE，点B的对应点为B′，连接CE,CB′，若15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD=3∠BAE、∠BCD=3∠BCE．若∠B=47°，∠D=20°，则∠E=________．16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=34°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点，若直线CE垂直于△ABC的一边，写出∠BEC的度数________．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．(1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；(2)当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由．18．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)若a，b满足(a−3)2+b−5(2)化简：b+c−a+19．（10分）（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，AB∥CD，(1)如图1，求∠BED+∠D的度数；(2)如图2，∠DEF=2∠BEF，∠CDF=13∠CDE，EF与DF交于点F20．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，EF⊥BC．(1)若∠DEF=20°，∠BAD=37°，求∠B的度数；(2)若△ABC的面积为24，CD=4，求线段EF的长度．21．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”；【应用拓展】（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．23．（14分）（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有∠1=∠2．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，AB、CD是两面互相平行的镜面，光线EF照射到镜面AB上，反射光线为FG；FG照射到镜面CD上，反射光线为GH．试判断光线EF和GH的位置关系，并说明理由．(2)类比探究：如图3，将两块平面镜AB、BC的一个端点重合于点B，一束光线EF照射在镜面AB上，经过两次反射后得到光线GH．若EF∥GH，∠HGC=45°，求∠EFG及∠ABC的度数．(3)拓展探究：如图4，光线EF与光线GH交于点H，设两面镜子的夹角∠ABC=80°，根据光的反射定律，求∠FHG．

第13章三角形·拔尖卷【新教材人教版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（

）A．点A B．点B C．直线AB上 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上．【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点A与物体最下端B所连接的直线上，∴薄板状物体的重心位置在直线AB上．故选：C．2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，若a=5，b=4，则c的值不可能为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】先根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项判断哪个数值不在该范围内．【详解】解：∵在△ABC中，a=5，b=4，∴a−b<c<a+b，∴5−4<c<5+4，∴1<c<9．选项A：6在1<c<9的范围内，故该选项不符合题意；选项B：7在1<c<9的范围内，故该选项不符合题意；选项C：8在1<c<9的范围内，故该选项不符合题意；选项D：9不在1<c<9的范围内，故该选项符合题意．3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（

）A．AG是△ABE的角平分线B．CH为△ACD边AD上的高C．BE是△ABD边AD上的中线D．AH为△AFC的高线【答案】C【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可．【详解】解：A．∵∠1=∠2，∴AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意；B．∵CF⊥AD，∴CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意；C．∵G为AD的中点，∴BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意；D．∵CF⊥AD，∴AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意；故选：C．4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个【答案】D【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键．三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从a选1个、b选2个；②从a选2个、b选1个两种情况，计算可组成的三角形数量．【详解】解：可以组成的三角形有:△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CAB，△DAB，△EAB，共9个．故选：D．5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=∠C；③∠A=12∠B=13∠C；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确地求出△ABC的最大内角的度数是解题的关键．通过三角形内角和为180°判断每个条件是否能推出一个角为90°，从而确定是否为直角三角形．【详解】①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，∴△ABC为直角三角形．故①符合题意．∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC不是直角三角形．故②不符合题意．∵∠A=1∴∠B=2∠A，∠C=3∠A．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=30°．∴∠B=60°，∠C=90°．∴△ABC为直角三角形．故③符合题意．∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠B=12∠A∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+12∠A+∴∠B=54011°∴△ABC不是直角三角形．故④不符合题意．综上，①和③能确定，共2个．故选：B6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=10°，则∠BAC的度数为（

）A．70° B．50° C．70°或50° D．70°或30°【答案】C【分析】分两种情况讨论，即高AD在△ABC内部和外部，分别计算∠BAC【详解】解：情况一：当高AD在△ABC内部时，∵∠BAD=60°，∠∴∠BAC=情况二：当高AD在△ABC外部时，∵∠BAD=60°，∠∴∠BAC=综上，∠BAC的度数为70°或50°7．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE、CE、Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=3cmA．15cm2 B．14cm2 C．【答案】C【分析】根据题意得到S△APD=S△PEF=3【详解】解：平行四边形ABCD，∴S△APD=∵Q是CE的中点，∴BQ=FQ，∵S△QEF=1∴S△QEF故阴影部分的面积为S△PEF8．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，AB∥CD，点G在直线AB上，点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在GH所在直线的左侧，若∠GKH=60°，点P为线段KH上一点（不与K、H重合），连接PG并延长到M，设∠KHC=n∠KGP，要使得∠AGM∠GPH为定值，则nA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】延长MP交CD于点O，设∠KGP=x，则∠KHC=nx，利用平行线的性质以及三角形外角性质可得∠GPH=60°+x，∠AGM=∠COM=∠OPH+∠KHC=120°+n−1x，即可得∠AGM∠GPH=120°+【详解】解：如图，延长MP交CD于点O，设∠KGP=x，则∠KHC=nx，∵∠GKH=60°，∴∠GPH=60°+x，∴∠OPH=180°−60°+x∵AB∥∴∠AGM=∠COM=∠OPH+∠KHC=120°−x+nx=120°+n−1∴∠AGM∠GPH当n−1=2时，∠AGM∠GPH∴n=3．9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折使B最终落在BC边上，若∠FEA"=108°，则∠A．43∘ B．42° C．41° D．【答案】B【分析】设∠DEF=x°，由折叠的性质可知∠B'FE=∠B"FE=∠DEF=x°，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠B【详解】解：如下图所示，由折叠可知∠B∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥∴∠DEF=∠EFB设∠DEF=x°，则∠B∵∠FEA∴∠DEA∵A∴∠ANB由折叠可知∠B又∵∠B∴72°−x°=2x°，解得：x=24°，∴∠B∵∠FEA"=108°∴∠FMB∴∠BB∵∠A∴∠A10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为直线AB上方一点．若∠BEP的角平分线与∠DFP的角平分线交于点H，∠EPF的角平分线与∠PFC的角平分线交于点G，PG交EH于点M，∠GFP=55°, ①∠GFH=90°；②∠PFH−∠PEH=∠EHF；③∠PGF=110°；④∠PEM=∠EPM．正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可．【详解】解：∵∠GFP=55°，GF平分∠PFC，∴∠PFG=∠GFC=55°∴∠PFD=180°−∠PFC=70°∵HF平分∠PFD，∴∠PFH=∠HFD=35°，∴∠GFH=∠GFP+∠PFH=90°，①正确；∵AB∥∴∠HFD=∠HNB∴∠PFH=∠HNB∵EH是∠PEB的角平分线，∴∠PEH=∠HEN∴∠PEH+∠EHN=∠HMB，∴∠PFH−∠PEH=∠EHF；②正确；∵EH是∠PEB的角平分线，PG平分∠EFP，∠PEN+∠EPF=70°，∴∠PEH+∠EPM=∠PMH=35°，∵∠PMH−∠EHF=20°∴∠EHF=15°，∴∠HEB=35°−∠EHF=20°，∴∠EPG=∠GPF=15°∴∠PGF=180°−∠PFG−∠GPF=110°，③正确；∵∠PEM=20°,∠EPM=15°，故④错误；二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简：2a−b−c2【答案】−a+b+3c【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果．【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴b+c>a，a+c>b，∴a−b−c<0，∴2=2=2=−2a+2b+2c−b+c+a=−a+b+3c．12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_____．【答案】75度/75°【详解】解：由题意得，∠GEA=180°−∠GEB=180°−90°=90°，∴∠HGF=∠EGA=90°−∠1=60°，∠3=∠FHG=180°−∠2−∠HGF=180°−45°−60°=75°．13．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．【答案】3【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量.【详解】解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引6−3=3条对角线，这将把六边形分割成4个三角形，从而使整个木框具有稳定性；故至少要钉上3根木条.14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，E是AB边上一点，将△BDE沿DE折叠至△B′DE，点B的对应点为B′，连接CE,CB′，若【答案】25【分析】作B′H⊥BC，设CE，B′D交于点F，根据三角形的中线平分面积得到S△BDE=S△CDE，折叠得到S△【详解】解：作B′H⊥BC，设CE，B′∵D为BC的中点，∴BD=CD=12BC=5∵折叠，∴B′D=BD=5，∴S△∴S△B′∴S△B′∵B′∴S阴影∴当B′H最大时，∵B′∴当D,H重合时，B′此时S阴影最大=15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AE、CE分别是∠BAD和∠BCD的三等分线，∠BAD=3∠BAE、∠BCD=3∠BCE．若∠B=47°，∠D=20°，则∠E=________．【答案】38°【分析】设AE、BC交于点F，根据题意可得∠BAE=13∠BAD=13180°−∠AOB−∠B=13【详解】解：如图，设AE、BC交于点F，∵∠BAD=3∠BAE、∠BCD=3∠BCE，∠BAD=180°−∠AOB−∠B，∠BCD=180°−∠COD−∠D，∠B=47°，∠D=20°，∴∠BAE=13∠BAD=∵∠AOB=∠COD，∠AFB=∠CFE，∴∠E=180°−∠BCE−∠CFE=180°−∠BCE−∠AFB=180°−∠BCE−∠AFB=180°−∠BCE−=∠BAE+∠B−∠BCE====38°，故答案为：38°．16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=34°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点，若直线CE垂直于△ABC的一边，写出∠BEC的度数________．【答案】13°或47°或133°【分析】分三种情况讨论：①当CE⊥BC时，②当CE⊥AB于F时，③当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：①如图1，当CE⊥BC时，∵∠A=60°，∠ACB=34°，∴∠ABC=86°，∵BM平分∠ABC，∴∠CBE=1∴∠BEC=90°−43°=47°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=1∴∠BEC=90°+43°=133°；③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE=43°，∠ACB=34°，∴∠BEC=180°−43°−34°−90°=13°．综上所述，∠BEC的度数为13°或47°或133°．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．(1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；(2)当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)∠E=25°(2)∠E=1【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【详解】（1）解：如图，记∠ADE=∠3，∠DAC=∠2，∠BAD=∠1．∵∠∴又∵AD平分∠BAC，∴∠∴∠∴PE⊥AD，∴（2）∠E=理由如下：设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠∴∠∵∠∴∠∴∠∴∠3=∠B+∠1=n又∵PE⊥AD，∴∴==18．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)若a，b满足(a−3)2+b−5(2)化简：b+c−a+【答案】(1)3(2)3b−a−c【分析】本题主要考查三角形的三边关系：（1）根据题意可得a−3=0，b−5=0，求得a=3，b=5，根据三角形三边关系，可得5−3<c<5+3；（2）根据三角形三边关系，可得b+c>a，a+c>b，a+b>c，据此即可求得答案．【详解】（1）解：∵a−3∴a−3=0，b−5=0．∴a=3，b=5．根据三角形三边关系，可得5−3<c<5+3，即2<c<8．∵c为整数，∴c的最小值为3．（2）解：根据三角形三边关系，可得b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴=b+c−a−=b+c−a−c+a+b−a−c+b=3b−a−c．19．（10分）（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，AB∥CD，(1)如图1，求∠BED+∠D的度数；(2)如图2，∠DEF=2∠BEF，∠CDF=13∠CDE，EF与DF交于点F【答案】(1)120°(2)100°【分析】（1）如图①，延长AB交DE于点F，根据平行线的性质结合三角形的外角定理即可求解；（2）设∠BEF=α，∠CDF=β，可得∠DEF=2α，∠DEB=3α，∠CDE=3β，∠EDF=2β，结合（1）可知∠BED+∠CDE=120°，进而根据三角形内角和求解即可．【详解】（1）证明：如图①，延长AB交DE于点F，

∵AB∥∴∠BFE=∠D，∵∠ABE=120°，∴∠BFE+∠BED=∠ABE=120°，∴∠BED+∠D=120°；（2）解：如图②，

∵∠DEF=2∠BEF，∠CDF=1即∠CDE=3∠CDF，设∠BEF=α，∠CDF=β，∴∠DEF=2α，∠DEB=3α，∠CDE=3β，∠EDF=2β，由（1）知：∠BED+∠CDE=120°，∴3α+3β=120°，∴α+β=40°，∴2α+2β=80°，∴∠EFD=180°−∠DEF−∠EDF=180°−(2α+2β)=180°−80°=100°．20．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，EF⊥BC．(1)若∠DEF=20°，∠BAD=37°，求∠B的度数；(2)若△ABC的面积为24，CD=4，求线段EF的长度．【答案】(1)73°(2)3【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键．（1）先求出∠EDF的度数，在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可求解；（2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：∵EF⊥BC，∴∠DEF+∠EDF=90°，∵∠DEF=20°，∴∠EDF=70°，∵∠B+∠BAD+∠EDF=180°，∠BAD=37°，∴∠B=180°−70°−37°=73°；（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴S∵点E是AD的中点，∴S∵1∴1∴EF=3．21．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得∠B+∠C=90°，再由∠C−∠B=50°根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE，∴∠C＝∠CDE，∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；（2）①∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°又∵∠C−∠B=50°，∴∠C＝70°，∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°则∠ADB=160°−x°,∠ADF=20°+x°,由翻折可知：∵∠ADE=∠ADB=160°−x°,∠E=∠B=20°,∴∠FDE=140°−2x°,∠DFE=20°+2x°,当∠FDE＝∠DFE时，140°−2x°=20°+2x°,解得：x°=30°；当∠FDE＝∠E时，140°−2x°=20°，解得：x°=60°（因为0＜x≤45，故舍去）；当∠DFE＝∠E时，20°+2x°=20°，解得：x°＝0（因为0＜x≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且x=30．【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．22．（12分）（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”；【应用拓展】（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【答案】（1）30°，不是；（2）见解析；（3）∠B=30°或【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB=90°，求得∠ABO=90°−∠MON=30°，得到∠OAB=3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24°，∠ACO=96°，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；（3）由∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，得到∠EFC=∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE∥BC，得到【详解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°−∠MON=30°，∴∠OAB=3∠ABO，∴△AOB不是“和谐三角形”；故答案为：30°，不是；（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，∴∠ACB=∠O+∠OAC，又∠O=60°，∠ACB=84°∴