人教版数学八年级上册 第13章 三角形（章节复习检测中等卷） 试卷 含答案

2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习检测中等卷（新教材）第13章三角形检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.55班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（本题2分）（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（

）A． B．C． D．2．（本题2分）（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1=120°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．60° D．120°3．（本题2分）（2025·云南昭通·一模）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为18，AD=4，则BE的长为（

）A．2 B．3 C．4.5 D．94．（本题2分）（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于（

）A．100° B．110° C．120° D．130°5．（本题2分）（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路CD与道路HE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路EF，要求∠EFG=2∠E，则∠E的度数为（

）A．30° B．25° C．20° D．15°6．（本题2分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（

）A．120° B．360° C．90° D．180°7．（本题2分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（

）A．20° B．30° C．50° D．80°8．（本题2分）如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（

）A．60° B．75° C．70° D．90°9．（本题2分）（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在下列条件中：①∠A+∠C=∠B；②∠A:∠B:∠C=2:3:5；③∠A=90°−∠B；④∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β=118°，则∠EMF的度数为（）A．56° B．58° C．60° D．62°二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（本题2分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为12．（本题2分）（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别是垂足．已知AB=2AC，则DE与DF的长度之比是．13．（本题2分）（22-23八年级上·北京·期末）如图．正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠BAC+∠ABC=°．

14．（本题2分）（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠EFC的度数是15．（本题2分）（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，∠ACD为△ABC的外角，若∠ABC=2∠BAC，∠ACD=117°，则∠ABC=16．（本题2分）（24-25八年级上·广东东莞·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角>10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角(∠O)的检测示意图，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是．17．（本题2分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点，已知AB=4,BC=3,S△BDE=2，则18．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15∘，D，E分别为AM，AB上的动点，则BD+DE的最小值是三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC．(1)画角平分线BD；(2)画中线CE；(3)画高AD．20．（本题6分）（21-22八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．21．（本题8分）（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想．解：我选择的是_________，猜想结论：_________．证明：22．（本题8分）（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．(1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数；(2)若AE平分∠BAC且交BD于E，求∠AED的度数．23．（本题8分）（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．24．（本题8分）（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．(1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B−∠C=40°，求∠DAE的度数．25．（本题10分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．(1)若∠ABC=∠ACE，求证：AB∥CE；(2)试探究∠A与∠E之间的数量关系，并说明理由．26．（本题10分）（24-25八年级上·山东济宁·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°，75°，25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM于点A，交ON于点B，以(1)△AOB_____（填“是”或“不是”）灵动三角形；(2)若∠BAC=70°，则△AOC(3)当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）．

2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习检测中等卷（新教材）第13章三角形检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.55班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【思路引导】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．【规范解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故该选项不符合题意；B．不能作出△ABC的高线，故该选项不符合题意；C．不能作出△ABC的高，故该选项不符合题意；D．作出的是△ABC中AB边上的高线，故该选项符合题意．故选：D．2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1=120°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．60° D．120°【答案】A【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解．【规范解答】解：∵∠1=90°+∠2，∠1=120°，∴∠2=30°，故选：A．3．（2025·云南昭通·一模）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为18，AD=4，则BE的长为（

）A．2 B．3 C．4.5 D．9【答案】C【思路引导】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键．根据三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABE【规范解答】解：∵AE是△ABC的中线，∴S∵S△ABE=∴BE=9故选：C．4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得∠AGC=∠A+∠B=100°，则可求出∠CHG=70°，由平角的定义和三角形外角的性质可得∠CHE=∠D+∠E=180°−∠CHG=110°．【规范解答】解：如图所示，∵∠A=60°,∠B=40°，∴∠AGC=∠A+∠B=100°，∵∠C=30°，∴∠CHG=∠AGC−∠C=70°，∴∠CHE=∠D+∠E=180°−∠CHG=110°，故选：B．5．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路CD与道路HE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路EF，要求∠EFG=2∠E，则∠E的度数为（

）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】C【思路引导】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出∠EGB=∠EHD=60°，再利用三角形外角的性质求出结论即可．【规范解答】解：由题意得：AB∥CD,∠EHD=60°，∴∠EGB=∠EHD=60°，∵∠EGB=∠EFG+∠E=60°，∠EFG=2∠E，∴∠E=20°，故选：C．6．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（

）A．120° B．360° C．90° D．180°【答案】D【思路引导】本题考查了三角形内角和定理．连接BC，由三角形内角和定理可知：∠EBC+∠DCB=∠D+∠E，进而计算即可.【规范解答】解：如图，连接BC，∵∠EBC+∠DCB+∠BOC=∠D+∠E+∠EOD，∠BOC=∠EOD，∴∠EBC+∠DCB=∠D+∠E，∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABE+∠ACD+∠EBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB=180°，故选D．7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（

）A．20° B．30° C．50° D．80°【答案】A【思路引导】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角的性质计算即可．【规范解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠4=∠2=50°，∴∠3=∠4−∠1=20°，故选：A．8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（

）A．60° B．75° C．70° D．90°【答案】A【思路引导】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．【规范解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠A=∠ACB=15°,∠CBD=∠CDB,∠DCE=∠CED,∠EDF=∠EFD，∴∠CDB=∠CBD=∠A+∠BCA=30°，∴∠DEC=∠DCE=∠A+∠CDA=45°，∴∠EFD=∠EDF=∠A+∠AED=60°，∴∠DEF=180°−∠EFD−∠EDF=60°；故选A．9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在下列条件中：①∠A+∠C=∠B；②∠A:∠B:∠C=2:3:5；③∠A=90°−∠B；④∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路引导】本题主要考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义等知识点，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．根据直角三角形的判定方法以及三角形内角和定理逐个判定即可．【规范解答】解：①因为∠A+∠C=∠B，则2∠B=180°，即∠B=90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A:∠B:∠C=2:3:5，设∠A=2x，则2x+3x+5x=180，解得：x=18°，则∠C=18°×5=90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°−∠B，即∠A+∠B=90°，则∠C=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A=∠B=12∠C，则12∠C+所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4个．故选：D．10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β=118°，则∠EMF的度数为（）A．56° B．58° C．60° D．62°【答案】A【思路引导】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH=118°，由折叠得：∠DEM=2∠DEG，∠AFM=2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFM的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于【规范解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEG=α，∠AFH=β，∴∠DEG+∠AFH=α+β=118°，由折叠得：∠DEM=2∠DEG，∠AFM=2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM=2×118°=236°，∴∠FEM+∠EFM=360°−236°=124°，在△EFM中，∠EMF=180°−∠FEM+∠EFM故选：A二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为【答案】5<a<9【思路引导】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．【规范解答】解：根据三角形的三边关系：7−2<a<7+2，解得：5<a<9．故答案为：5<a<9．12．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别是垂足．已知AB=2AC，则DE与DF的长度之比是．【答案】1【思路引导】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由AD是BC边上的中线，得到S△ABD=S△ACD，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合【规范解答】解：∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，∴S∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴1∵AB=2AC，∴2DE=DF，即DE与DF的长度之比是12故答案为：1213．（22-23八年级上·北京·期末）如图．正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠BAC+∠ABC=°．

【答案】45【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得∠ACB=135°，利用三角形的内角和定理求解即可．【规范解答】解：根据网格特点，∠ACB=135°，∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−135°=45°，故答案为：45．14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠EFC的度数是【答案】75【思路引导】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用平行线的性质三角形的外角的性质即可解决问题．【规范解答】由三角板可得：∠C=30°，∠E=45°，∵AE∥∴∠E=∠EDC=45°，∴∠EFC=∠C+∠EDC=75°，故答案为：75．15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，∠ACD为△ABC的外角，若∠ABC=2∠BAC，∠ACD=117°，则∠ABC=【答案】78°【思路引导】根据三角形的外角性质即可求解．根据三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和列式计算即可求解．【规范解答】解：根据三角形外角的性质可得：∠ACD=∠BAC+∠ABC，∵∠ABC=2∠BAC，∠ACD=117°，∴117°=1∴∠ABC=78°，故答案为：78°．16．（24-25八年级上·广东东莞·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角>10°为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角(∠O)的检测示意图，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，已知Cobb角为37°，则∠AEC的大小是．【答案】37°【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，垂直的定义，对顶角相等，由DA⊥OC得∠DAO=90°，则根据直角三角形的性质可求出∠ADO=53°，同理∠DEB=37°，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【规范解答】解：∵DA⊥OC，∴∠DAO=90°，∴∠ADO=90°−∠DOA=90°−37°=53°，∵CB⊥OD，∴∠EBD=90°，∴∠DEB=90°−∠ADO=90°−53°=37°，∴∠AEC=∠DEB=37°，故答案为：37°．17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点，已知AB=4,BC=3,S△BDE=2，则【答案】7【思路引导】本题考查的是角平分线的性质及三角形中线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质得到DP=DQ，根据三角形的中线及三角形面积公式计算即可．【规范解答】解：过点D作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，∵BD平分∠ABC,DP⊥AB,DQ⊥BC，∴DP=DQ,∵E为AB的中点，S△BDE∴S∵S∴1∴DP=2，∴S∴S故答案为：718．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15∘，D，E分别为AM，AB上的动点，则BD+DE的最小值是【答案】8【思路引导】作E关于AM的对称点E，连接DE，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【规范解答】解：如图，作E关于AM的对称点E′，连接D

∵AM平分∠BAC，∴E′在CA∴ED=E∴BD+DE≥BE则当E′、B、D三点共线，且BE′∵AM平分∠BAC，∠BAM=15°，∴∠BAE∵AB=16，BE∴BE即：BD+DE最小值为8．故答案为：8．【考点剖析】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC．(1)画角平分线BD；(2)画中线CE；(3)画高AD．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【思路引导】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可．【规范解答】（1）解：如图所示：线段BD即为所求．（2）解：如图所示：线段CE即为所求．（3）解：如图所示：线段AD即为所求．20．（本题6分）（21-22八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【答案】（1）2cm；（2）1cm或3cm．【思路引导】（1）由图可知三角形BDE的周长=BE+BD+DE，四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE，BD=DC，所以BE=AE+AC，则可解得AE=2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE=AE+AC+2或②BE=AE+AC−2．解得AE=1cm或2cm．【规范解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长=BE+BD+DE，四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD=DC，BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，即BE=AE+AC，又∵AB=10cm，AC=6cm，BE=AB−AE，∴10−AE=AE+6，∴AE=2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①当BE=AE+AC+2时，即：10−AE=AE+6+2，解得：AE=1cm，②当BE=AE+AC−2时．即：10−AE=AE+6−2，解得AE=3cm．故AE长为1cm或3cm．【考点剖析】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．21．（本题8分）（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想．解：我选择的是_________，猜想结论：_________．证明：【答案】图（1），结论：∠BPC=90°−12∠A【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键．（1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得∠BPC=90°−1（2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到∠BPC=1【规范解答】解：图（1），结论：∠BPC=90°−1证明如下：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A．∵BP，CP分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，∴∠PBC+∠PCB=1即：∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB图（2），结论：∠BPC=1证明如下：∵BP，CP分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线，∴∠PCD=12∠ACD∵∠PCD是△PBC的外角，∴∠P=∠PCD−∠PBC=1∵∠A=∠ACD−∠ABC∴∠P=1故答案为：图（1），结论：∠BPC=90°−12∠A22．（本题8分）（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．(1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数；(2)若AE平分∠BAC且交BD于E，求∠AED的度数．【答案】(1)65°(2)45°【思路引导】本题主要考查角平分线和外角：（1）根据∠BDC=∠BAC+∠ABD，即可求得答案；（2）根据∠EDC=∠EAD+∠AED，即可求得答案．【规范解答】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=90°−40°=50°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1∴∠BDC=∠BAC+（2）∵AE平分∠BAC，∴∠EAD=1∵∠EDC=∠EAD+∠AED，∴∠AED=∠EDC−∠EAD=65°−20°=45°．23．（本题8分）（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．【答案】见解析【思路引导】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为等边三角形．【规范解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBE，∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∵∠CAD=60°，∴△AEF为等边三角形．24．（本题8分）（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．(1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B−∠C=40°，求∠DAE的度数．【答案】(1)20°(2)20°【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．（1）先由三角形内角和定理求出∠BAC=80°，再由角平分线的定义得到∠CAE=40°，由垂线的定义得到∠BAD=90°，则∠DAB=90°−∠B=20°，根据∠DAE=∠BAE−∠DAB即可解题；（2）仿照（1）的步骤求解即可．【规范解答】（1）解：∵∠B=70°，∠C=30°∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°，∴∠DAB=90°−∠B=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠DAB=40°−20°=20°；（2）解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∵∠BAD=90°−∠B，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=1∵∠B−∠C=40°，∴∠DAE=125．（本题10分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．(1)若∠ABC=∠ACE，求证：AB∥CE；(2)试探究∠A与∠E之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)∠A=2∠E，理由见解析【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得出∠ACE=∠DCE，结合已知推出∠ABC=∠DCE，于是问题得证；（2）根据∠ACD是△ABC的一个外角得出∠ACD=∠A+∠ABC，再根据角平分线的定义推出2∠DCE=∠A+2∠CBE，再根据∠DCE是△BCE的一个