人教版数学八年级上册 第13章 三角形·冲刺卷 试卷 含答案

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第十三章三角形·冲刺建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（

）A．12 B．15 C．9 D．62．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（

）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（

）A． B． C． D．5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（

）A． B． C． D．6．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（

）A． B． C．或 D．或8．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（

）A．5 B．8 C．30 D．459．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（

）A．42 B．36 C．28 D．3010．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________．12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可）13．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________．14．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________．15．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________．16．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，．求证：．证明：∵平分（已知），∴（）．∵是的外角（已知），∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）．∵（已知），∴，即（）．∴（）．∴（）．18．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使．(1)求证：．(2)当，时，求的度数．19．（6分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上．(1)作交的延长线于点；(2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形．20．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O．(1)若，，求的度数；(2)若，求与的周长之差．21．（8分）（25-26七年级下·广东阳江·期末）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、．(1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）．(2)画出平移后的三角形．(3)求三角形的面积．22．（8分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数；(3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由．23．（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．(1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______；(2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数；(3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数；(4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数．24．（12分）（25-26七年级下·山东淄博·期末）综合与实践：【问题情境】在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．【探究发现】如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，．(1)若，则的度数为_____；(2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数．25．（12分）（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．(1)如图，平分，平分，若，求的度数．(2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点；①若，则______．②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数．(3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中，①直接写出与之间的关系．②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数．

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第十三章三角形·冲刺建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（

）A．12 B．15 C．9 D．6【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长．【详解】解：分两种情况讨论：①当3为底边长时，两腰长均为6，∵，满足三角形三边关系，∴此时三角形周长为；②当3为腰长时，底边长为6，∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去；因此三角形的周长为15．2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（

）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边【答案】C【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理．【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据．B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据．C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形．D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据．3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，．4．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可．【详解】解：∵、、是的三边长，∴，，∴，．∴．5．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴．6．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：∵，∴，由折叠得：，，∵，∴，∴，∴．7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可．【详解】解：等腰的周长为，一边长为，∴分两种情况讨论：当为腰长时，底边长为，，∴满足三角形三边关系，依题意，和谐比；当为底边长时，腰长为，，∴满足三角形三边关系，依题意，和谐比；综上：等腰的“和谐比”为或，8．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（

）A．5 B．8 C．30 D．45【答案】C【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答．【详解】解：如图，连接，，，，，分别为五边形各边中点，,，，，图中阴影部分的总面积是15，，五边形的面积是．9．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（

）A．42 B．36 C．28 D．30【答案】A【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案．【详解】解：连接，，点G是线段的中点，，，点F是线段的中点，，，点E是线段的中点，，，，点D是线段的中点，．10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【分析】由角平分线的定义得到，然后判断出不一定等于，然后结合三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可．【详解】解：∵平分，∴．∵和不一定相等，∴不一定等于，故①错误；∵，，，∴，故②正确；∵∴，∴，若，∴∴，∴，∴，根据题意无法得到，∴不成立，故③错误；∵，∴，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是②④．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________．【答案】【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可．【详解】解：由题意设，则，根据三角形内角和定理，得解得因此，则．12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可）【答案】（答案不唯一，填7、8、9、10也可）【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再选取范围内的整数即可．【详解】解：据三角形三边关系，可得，即，为整数，可以为，，，，中任意一个．13．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________．【答案】【分析】过点作于，交于，可得，利用“等积法”可求出，进而求出，即可得出答案．【详解】解：如图，过点作于，交于，则，∵，∴，∵点到的距离是，∴，∵，，，，∴，即，解得：，∴，∴与之间的距离是．14．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________．【答案】4【分析】先根据三角形中线的性质得，进而求出，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：∵是的中线，，∴．∵是的中线，∴．∵，∴，解得．15．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________．【答案】3【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案．【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴．16．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________．【答案】或或【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分三种情况根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，当时，如图，延长交于点G，可知，∴，∴；当时，如图，可知，∴；当时，如图，可知，∴，∵，∴；综上所述，的度数为或或．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，．求证：．证明：∵平分（已知），∴（）．∵是的外角（已知），∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）．∵（已知），∴，即（）．∴（）．∴（）．【答案】角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行······················6分【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义，结合平行线的判定证明即可．【详解】略18．（6分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使．(1)求证：．(2)当，时，求的度数．【答案】(1)证明：是的平分线，，又，，；·····················3分(2)【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等．（2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数．【详解】（1）略（2）解：，，在中，，，，，平分，，．·····················6分19．（6分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上．(1)作交的延长线于点；(2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形．【答案】(1)如图，高即为所求·····················3分(2)如图，三角形即为所求：·····················6分【详解】（1）略（2）略20．（6分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O．(1)若，，求的度数；(2)若，求与的周长之差．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余得出，根据三角形的角平分线的定义得出，进而根据三角形外角得出；（2）根据三角形的中线的定义得出，进而结合题意，即可求解．【详解】（1）解：∵是的高，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴；·····················3分（2）解：∵是的中线，∴，∴，∴与的周长之差为3．·····················6分21．（8分）（25-26七年级下·广东阳江·期末）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、．(1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）．(2)画出平移后的三角形．(3)求三角形的面积．【答案】(1)；(2)·····················5分(3)6【分析】（1）根据平移的规律作答即可；（2）根据（1）中坐标作图即可；（3）根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、，∴，，，即，，；·····················3分（2）略；（3）解：．·····················8分22．（8分）（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数；(3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由如下：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，由（1）可得：，∴，∴．【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解．（2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解．（3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答．【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴．·····················2分（2）解：∵平分，平分，∴，，∴，∵由（1）知，∴．·····················5分（3）略·····················8分23．（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．(1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______；(2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数；(3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数；(4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数．【答案】(1)(2)的度数为或(3)的度数为或(4)【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解；（2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解；（3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可；（4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解．【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余，∴，解得；·····················2分（2）解：∵在中，，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∵射线平分，∴，∵与互为“黄金角”，∴当时，，∵，∴，∴；当时，，∵，∴，∴；综上所述，的度数为或；·····················4分（3）解：∵，，∴，∴，由折叠得，，，∴，∴，∵和互为“黄金角”，∴当时，联立得，，解得；当时，联立得，，解得；综上所述，的度数为或；·····················6分（4）解：如图，设与交于点F，由折叠得，，∴，∴∴，∵和互为“黄金角”，∴，，∴．·····················8分24．（12分）（25-26七年级下·山东淄博·期末）综合与实践：【问题情境】在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．【探究发现】如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，．(1)若，则的度数为_____；(2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数．【答案】(1)；(2)与之间的数量关系为：，理由如下：，，，，，又，，；(3)的度数为或【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，根据角的和差关系得到.（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可证明结论．（3）根据当时，即时，以及当时，即时，分情况讨论，利用（2）中的结论得出的度数．【详解】（1）解：如图，过点作，∵，∴，∴，∵，∴；故答案为：；············