人教版数学八年级上册 第13章 三角形全章压轴突破8个专题（60题）（必考点分类集训） 同步练习 含答案

第十三章三角形全章压轴突破8个专题（60题）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u压轴突破1三角形的三边关系的应用 1压轴突破2三角形的面积问题 2压轴突破3三角形内角和定理与外角性质的应用 2压轴突破4角度计算中的分类讨论思想 4压轴突破5含角平分线的复杂角度计算 5压轴突破6三角形的角度计算与折叠问题 9压轴突破7三角形中多结论问题 11压轴突破8三角形中角度计算综合探究题 13压轴突破1三角形的三边关系的应用1．现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．122．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（）A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或63．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，则最长边c的取值范围是（）A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜84．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（）A．1m B．2m C．3m D．4m压轴突破2三角形的面积问题5．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，SABCA．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm26．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（）A．3 B．6 C．12 D．1.57．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为．8．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．压轴突破3三角形内角和定理与外角性质的应用9．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（）A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α10．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（）A．210° B．235° C．180° D．200°11．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°12．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°13．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（）A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20°14．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（）A．62° B．152° C．208° D．236°15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°16．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为°．17．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是．18．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝°．压轴突破4角度计算中的分类讨论思想19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，则∠BFC的度数为．20．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为．21．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为．23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，点F在BD所在的射线上，若CF垂直于△ABC的一边，则∠BFC的度数为．24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为度．压轴突破5含角平分线的复杂角度计算25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°26．如图，BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，则∠A的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°27．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2025＝（）A．122023α B．122024α28．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（）A．∠2=150°−16∠1 C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠129．如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（）A．90°+34α B．120°+1230．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是．31．如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为．32．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+12α；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=60°+23α；以此来推，∠B、∠C的三条四等分角线分别对应交于O1、O2、O3，则∠BO3C=45°+34α；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、33．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E﹣∠D的度数为．34．如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，则∠D＝．35．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为．36．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为．压轴突破6三角形的角度计算与折叠问题37．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（）A．30° B．32° C．35° D．60°38．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（）A．38 B．39 C．40 D．4139．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（）A．α+β B．α+2β C．2α+β D．90°+40．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°41．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个42．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝°．43．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝．压轴突破7三角形中多结论问题44．如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与O的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D．下列四个结论：①OD∥CE；②∠E=90°−12∠BAC；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACGA．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④45．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB=12∠A．1 B．2 C．3 D．446．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列结论：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB=12∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°+1A．1 B．2 C．3 D．447．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论：①∠CHD与∠G互余；②∠CBD＝∠BCG；③∠MHD﹣∠G＝90°；④∠MHD＝90°+∠A．其中正确的结论是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①③48．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个49．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个50．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；其中正确的是．压轴突破8三角形中角度计算综合探究题51．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CD交于点F．（1）【问题呈现】如图①，若∠A＝100°，求∠BFC的度数；（2）【问题推广】如图②，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，则∠BFC＝°；（3）【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，若∠AQP＝α，∠ACB＝70°，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α的式子表示）．52．已知∠MAN＝52°，点B，C分别在AM，AN上．（1）如图1，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MBC的平分线与∠BCN的平分线交于点O，则α+β＝°，∠O＝°；（2）如图2，点E是线段BC延长线上一点，过点E作EF⊥AN，垂足为点F，∠MAN与∠CEF的平分线交于点D，求∠ACE与∠ADE的数量关系；（3）如图3，若点G在∠MAN内部（点G不在线段BC上），∠CGB＝108°，连接BG与CG，∠GBM与∠GCN的平分线交于点H，求∠BHC的度数．53．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用（4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．54．综合与实践在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝°；【问题再探】（2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．55．如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．（1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．56．在ABC中，AE平分∠BAC，∠ACB＞∠ABC．（1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠EAD的度数；（2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠ABC，∠ACB，∠EAD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠ABC，∠ACB，∠EPD之间的数量关系．57．阅读下面的材料，并解决问题．△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．图1中∠ACD＝∠A+∠B．（1）已知在△ABC中，∠A＝66°，图2﹣图4的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠O＝；（2）在（1）的条件下，如图5，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝；（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2，若∠1＝105°，∠2＝125°，则∠A的度数为．58．已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．（1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为；（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数．59．如图，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠ODC的平分线交于点P．（1）如图1，当∠AOB＝∠OCD＝60°时，∠P＝．（2）如图2，当∠AOB＝60°，点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出∠P的度数．（3）如图3，若∠OCD+∠ODC＝α（0°＜α＜180°），请直接写出∠P的度数（用含α的式子表示）．60．如图1，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止．（1）当∠ADB＝90°时，求∠CAD的度数；（2）如图2，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）．①直接写出∠CAD的取值范围；②探索∠BDM与∠BAM之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在点D从B向C运动过程中，设∠BAD＝α°，同时将BC绕点B按顺时针方向旋转β°，即∠CBC＝β°，且满足α：β＝2：3，若运动过程中AD、BC所在直线相交于点P，当∠BPD＜120°时，求α的取值范围．

第十三章三角形全章压轴突破8个专题（60题）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u压轴突破1三角形的三边关系的应用 1压轴突破2三角形的三边关系的应用 3压轴突破3三角形内角和定理与外角性质的应用 5压轴突破4角度计算中的分类讨论思想 12压轴突破5含角平分线的复杂角度计算 19压轴突破6三角形的角度计算与折叠问题 29压轴突破7三角形中多结论问题 36压轴突破8三角形中角度计算综合探究题 47压轴突破1三角形的三边关系的应用1．现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】因n段之和为定值144cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．【解答】解：∵每段的长为不小于1（cm）的整数，∴最小的边最小是1，∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，∴第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件．上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56，这时n的值最大，n＝10．故选：B．2．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（）A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6【分析】先由a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，得2c﹣6＜c＜3c﹣6，解得3＜c＜6，结合c为整数即可作答．【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c，∴a﹣b＜c＜a+b，∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，∴2c﹣6＜c＜3c﹣6，解得3＜c＜6，∵c为整数，∴c的长是4或5，故选：B．3．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，则最长边c的取值范围是（）A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜8【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到关于a、b的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．【解答】解：∵|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，∴a+b﹣14＝0，a﹣b+2＝0，解得a＝6，b＝8，∵b﹣a＜c＜b+a，∴2＜c＜14，综上所述，只有选项B正确，符合题意，故选：B．4．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答．【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，根据题意得：AB＝2m，BC＝8m，CD＝3m，∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，即5m＜AB+x＜11m，∴3m＜x＜9m，∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m，故选：D．压轴突破2三角形的三边关系的应用5．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，SABCA．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可．【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE，∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE，∴S△CGE同理：S△BGF∵S△ACF∴S△CGE∴S阴影故选：A．6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（）A．3 B．6 C．12 D．1.5【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有S△BDE=14S△ABC，过点【解答】解：过点E作EF⊥BC交BC于点F，如图，由题意可知：S△ABD=1∴S△BDE∵△ABC的面积为30，BD＝5，∴S△BDE解得EF＝3，故△BDE中BD边上的高为3．故选：A．7．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为．【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可．【解答】解：如图，连接AE，BF，CD，∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点，∴AD＝DF，BE＝ED，∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE，同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形，∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的17∵△ABC的面积为10，∴阴影部分的面积是107故答案为：1078．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12故答案为1．压轴突破3三角形内角和定理与外角性质的应用9．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（）A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α【分析】先根据邻补角性质求得∠ADE+∠AED＝360°﹣α，再根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣α，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°，故选：C．10．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（）A．210° B．235° C．180° D．200°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可得∠α＝∠1+∠D、∠β＝∠4+∠F，再根据三角形内角和定理可得∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝90°+30°+90°，最后计算即可．【解答】解：如图：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F，＝90°+30°+90°＝210°，∴∠α+∠β的度数为210°．故选：A．11．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．【解答】解：连接BC，如图所示，∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，∵∠D+∠E＝∠1+∠2，∴∠D+∠E＝50°，故选：C．12．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题．【解答】解：如图，连接EF，∵∠B+∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°．∵∠D＝70°，∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°，∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．故选：A．13．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（）A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20°【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝30°．而图中∠D＝20°，∴∠D应增加10°．故选：A．14．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（）A．62° B．152° C．208° D．236°【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，又∵∠BED＝∠D+∠EGD，∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD＝180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，又∵∠D＝28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，故选：C．15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E，结合三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即可获得答案．【解答】解：如下图，∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E，又∵∠2+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是180°．故选：A．16．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为°．【分析】由三角形外角性质得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°，即得∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°．【解答】解：由三角形外角性质可得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，故答案为：240．17．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是．【分析】在△CEF中，利用三角形内角和定理可求出∠ECF的度数，连接AC，并延长AC交EF于点M，利用平行线的性质，可得出∠BAD＝∠ECF，此题得解．【解答】解：在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°．连接AC，并延长AC交EF于点M，如图所示．∵AB∥CF，AD∥CE，∴∠BAC＝∠FCM，∠DAC＝∠ECM，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCM+∠ECM＝∠ECF＝45°．故答案为：45°．18．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝°．【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．∵∠BEM是△ABE的外角，∴∠BEM＝∠BAE+∠B．同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°，∴∠CFD＝70°．故答案为：70．压轴突破4角度计算中的分类讨论思想19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，则∠BFC的度数为．【分析】利用三角形内角和及外角的性质求解即可．【解答】解：已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，如图1，当BD与CE交于点F时，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°；如图1，△ABC是锐角三角形时，由题意得：∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°；如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB是钝角，同理可求，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∠BFC＝90°﹣∠ABD＝40°；如图3，△ABC是钝角三角形时，∠ABC是钝角，同理可得∠BFC＝40°；故答案为：40°或140°．20．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为．【分析】分两种情况进行讨论：当∠BFD＝90°时，当∠BDF＝90°时，分别依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ADF的度数．【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时，∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；如图2，当∠BDF＝90°时，同理可得∠BAD＝30°，∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，∴∠B＝42°，∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°，∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°，综上所述，∠ADF的度数为18°或60°．故答案为：60°或18°．21．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为．【分析】分三种情况讨论：①当CE⊥BC时，②当CE⊥AB于F时，③当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，∵∠A＝60°，∠ACB＝42°，∴∠ABC＝78°，∵BM平分∠ABC，∴∠CBE=12∴∠BEC＝90°﹣39°＝51°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=12∠∴∠BEC＝90°+39°＝129°；③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE＝39°，∠ACB＝42°，∴∠BEC＝180°﹣39°﹣42°﹣90°＝9°．综上所述，∠BEC的度数为9°、51°、129°．故答案为：9°、51°、129°．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为．【分析】依题意分以下三种情况：①当点P在线段AB上时，则∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，再根据∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；②当点P在BA的延长线上时，则∠PAD＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，进而得∠APD＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，再根据∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；③当点P在AB的延长线上时，则∠PBE＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，进而得∠BPE＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，再根据∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵点P是直线AB上一动点，∴有以下三种情况：①当点P在线段AB上时，如图1所示：∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，∵∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°，∠C＝90°，∴90°+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠α＝360°，∴∠1+∠2﹣∠α＝90°；②当点P在BA的延长线上时，如图2所示：∵∠PAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，∵∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，∴90°+∠ABC+∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC+∠1＝180°，∴∠2﹣∠1﹣∠α＝90°；③当点P在AB的延长线上时，如图3所示：∵∠PBE＝∠C+∠BAC＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，∴∠BPE＝∠DPE+∠BPD＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，∵∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°，∴∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC+∠2+90°+∠BAC＝180°，∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°，综上所述：∠α，∠1，∠2之间的关系为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．故答案为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，点F在BD所在的射线上，若CF垂直于△ABC的一边，则∠BFC的度数为．【分析】分三种情形：CF⊥AB，CF′⊥BC，CF″⊥AC分别求解即可．【解答】解：如图，当CF⊥AB于点H时，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=12∠∵∠CHB＝90°，∴∠BFC＝∠CHB+∠ABD＝90°+30°＝120°；当CF′⊥CB时，∠BF′C＝90°﹣30°＝60°；当CF″⊥AC时，∠BF″C＝180°﹣30°﹣140°＝10°．综上所述，∠BFC的度数为120°或60°或10°．故答案为：120°或60°或10°．24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为度．【分析】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．【解答】解：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∵∠MON＝40°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，当△ABC为“灵动三角形”时，①当∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝3×50°＝150°（舍去），②当∠ACB＝3∠CAB时，4∠CAB+50°＝180°，∴∠CAB＝32.5°，∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°，综上，∠OAC＝57.5°．三角形ABC中，有一个角是50度的13时，∠OAC=故答案为：57.5°或2203压轴突破5含角平分线的复杂角度计算25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．【解答】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2=12∠ABD=12（2x+y）＝∴x+20＝x+12y，解得∴∠1＝∠2=12（180°﹣∠ABC）∴∠DFB＝60°．故选：C．26．如图，BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，则∠A的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°【分析】连接BC，根据题意得到∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°，进而得出∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°，得到∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．【解答】解：如图，连接BC，∵BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∴∠EBD＝∠FBE=12∠ABD，∠FCD＝∠ECF=1∵∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°，∴∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝75°，故选：C．27．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2025＝（）A．122023α B．122024α【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BD=12∠ABC，∠A1【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，∴∠A1BD=12∠ABC，∠A1CD=1又∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴（∠ABC+∠A）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠同理可得：∠A2=12∠A1=1∠A3=123则A2025=122025∵∠A＝α，∴∠A2025=1故选：C．28．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（）A．∠2=150°−16∠1 C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1【分析】由∠DCB是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠DCB＝3∠DAC，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ECB＝180°﹣3∠EBC，结合∠1＝∠DCB﹣∠ECB，可得出∠1＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，变形后可得出∠DAC+∠EBC＝60°+13∠1，利用角平分线的定义，可得出∠PAB=12∠DAC，∠PBA=12∠EBC，进而可得出∠PAB+∠PBA=12（60°【解答】解：∵∠DCB是△ACD的外角，∴∠DCB＝∠D+∠DAC＝3∠DAC．在△BCE中，∠E＝2∠EBC，∴∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣3∠EBC，∴∠1＝∠DCB﹣∠ECB＝3∠DAC﹣（180°﹣3∠EBC）＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，∴∠DAC+∠EBC＝60°+1∵∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，∴∠PAB=12∠DAC，∠PBA=1∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAC+∠EBC）=1∴∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°−12（60°+1故选：A．29．如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（）A．90°+34α B．120°+12【分析】根据角平分线定义可得∠2=90°+α2，【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线，∴∠CBO=12∠ABC∴∠CBO+∠BCO=1∵∠OCB+∠OBC+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝180°﹣（90°−α2）＝90°∵AO是∠BAC和平分线，∴∠BAO=1∵AD是∠BAO的平分线，∴∠1=12∴∠1+∠2=1故选：A．30．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是．【分析】由角平分线定义得到∠ABP=12∠ABC，∠MAP=12∠CAM，由三角形的外角性质推出∠MAP＝∠ABP+∠APB，即可得到∠APB【解答】解：∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAM，∴∠ABP=12∠ABC，∠MAP=1∵∠MAP＝∠ABP+∠APB，∴12∠CAM=12∠ABC∴12（∠ABC+∠C）=12∠ABC∴∠APB=12∠C故答案为：40°．31．如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为．【分析】根据题意，如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G，根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF，根据三角形的内角和，外角和的性质可得∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①，∠ABF﹣∠A＝∠F+∠CDF②，然后①﹣②得∠A+∠F＝∠C﹣∠F，由此即可求解．【解答】解：如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G，∵∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF，∵∠BGF＝∠CGD，∴∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①，由外角的性质可知：∠ABF＝∠A+∠AEF，∠AEF＝∠F+∠ADF，∴∠CBF﹣∠A＝∠ABF﹣∠A＝∠AEF＝∠F+∠ADF＝∠F+∠CDF②，∴①﹣②得，∠A+∠F＝∠C﹣∠F，∴2∠F＝∠C﹣∠A，又∵∠A＝15°，∠C＝65°，∴2∠F＝65°﹣15°＝50°，∴∠F＝25°，故答案为：25°．32．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+12α；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=60°+23α；以此来推，∠B、∠C的三条四等分角线分别对应交于O1、O2、O3，则∠BO3C=45°+34α；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、【分析】根据三角形的内角和等于180°得出∠ABC+∠ACB，根据n等分的定义求出∠On﹣1BC+∠On﹣1CB的度数，在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：由题意可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∠On−1BC=∴∠=n−1=(n−1)×180°∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）=180°−[(n−1)×180°=(n−1)α故答案为：(n−1)αn33．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E﹣∠D的度数为．【分析】利用角的平分线，外角性质，三角形内角和定理，计算即可．【解答】解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，CD平分∠ACF，CE平分∠ABC，BE平分∠FBG，∴∠BOC=130°=180°−∠OBC−∠OCB=180°−=180°−1解得：∠A＝80°，∴∠E=180°−∠EBC−∠ECB=180°−=1∴∠D==90°−1∴∠E﹣∠D＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．34．如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，则∠D＝．【分析】设∠BAE＝α，∠DCE＝β，根据角平分线的定义得∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β，由三角形的内角和定理得∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝150°﹣β，再根据对顶角相等得155°﹣α＝150°﹣β，据此得α﹣β＝5°，同理由三角形的内角和定理得∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β，再根据对顶角相等得150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β，据此可得∠D的度数．【解答】解：设∠BAE＝α，∠DCE＝β，∵AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β，∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（25°+α）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝180°﹣（β+30°）＝150°﹣β，又∵∠AHB＝∠CHE∴155°﹣α＝150°﹣β，∴α﹣β＝5°，∵∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝180°﹣（30°+α）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β，又∵∠EGA＝∠CGD，∴150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β，∴∠D＝30°+α﹣β＝35°．故答案为：35°．35．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为．【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ACM＝∠A+∠ABC，由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM，结合角平分线的定义，可得出∠GBF=12∠ABC，∠GFM=12（∠A+∠【解答】解：∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM＝∠A+∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM．∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，∴∠GBF=12∠ABC，∠GDE=12∠ADE=12∠ACM∴∠GFM＝∠GDE=12（∠A+∠又∵∠GFM是△GBF的外角，∴∠GFM＝∠G+∠GBF，即12（∠A+∠ABC）＝∠G+12∴∠G=12∠A故答案为：20°．36．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为．【分析】根据题意可知∠PBC＝∠C，设∠C＝x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC＝∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数．【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠C=12∠设∠C＝x，则∠PBC＝x，∵∠FEC＝28°，∴∠AFE＝x+28°，∵∠AEF＝2∠AFE，∴∠AEF＝2x+56°，∵EP平分∠AEF，∴∠FEP＝x+28°，∵∠PEC＝∠P+∠PBC，∴x+28°+28°＝∠P+x，∴∠P＝56°，即∠P的度数为56°，故答案为：56°．压轴突破6三角形的角度计算与折叠问题37．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（）A．30° B．32° C．35° D．60°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°，故选：A．38．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（）A．38 B．39 C．40 D．41【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数．【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，∵∠AEO+∠BEO＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，∴∠ADE+∠BFE＝128°，∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，∴∠A+∠B＝142°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．故选：A．39．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（）A．α+β B．α+2β C．2α+β D．90°+【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，再由邻补角的定义可得∠ADF＝180°﹣β，从而可求得∠ADE＝90°+β2，由三角形的内角和可求∠AED，从而可求得∠AEF，再由邻补角的定义即可求∠【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∵∠FDB＝β，∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β，∴∠ADE=12（360°﹣∠ADF）＝90°∵∠A＝α，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°−β2∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β．故选：C．40．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．【解答】解：连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故选：A．41．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①由折叠的性质得∠DC'C＝∠C＝22°，由三角形内角和定理得∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，进而可得∠ADC′的度数，由此可对结论①进行判断；②连接CC'，由折叠的性质得∠DC'E＝∠DCE＝22°，由三角形内角和定理及邻补角定义得∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，则∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，由此可对结论②进行判断；③设∠CED＝α，由折叠的性质得∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，则∠CEC'＝2α，进而得∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝158°﹣α，∠ADE＝180°﹣∠CDE＝22°+α，进而得∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝136°﹣2α，然后可计算∠BEC′﹣∠ADC'的值即可对结论③进行判断；④当C′E∥AB时，（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠CME＝∠A＝90°，进而得∠CEM＝90°﹣∠C＝68°，再由折叠的性质得∠CED＝∠MED=12∠CEM＝34°，由此可求出∠CDE的度数；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠C'ND＝90°，则∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，再由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE=12∠C'【解答】解：①∵点C'落在BC边上，∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°，∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°，故结论①正确；②连接CC'，如图2所示：由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°，∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°，又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°，∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'，即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，故结论②正确；③设∠CED＝α，由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α，∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α，∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α，∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α，∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°，故结论③正确；④当C′E∥AB时，有以下两种情况：（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示：∵C′E∥AB，∠A＝90°，∴∠CME＝∠A＝90°，∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°，由折叠的性质得：∠CED＝∠MED=12∠∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示：∵C′E∥AB，∠A＝90°，∴∠C'ND＝90°，由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE，在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，∴∠CDE＝∠C'DE=12∠C'综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．故选：D．42．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝°．【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3．【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°．∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C．∴∠1+∠2+∠3＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°．故答案为：265°．43．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝．【分析】先根据三角形外角的性质及∠1+∠2＝228°求出∠A′的度数，进而可得出∠A的度数，由三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE的度数，由折叠的性质得出∠AEF+∠ADG的度数，进而可得出结论．【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN，∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°，∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°，∴∠A′＝228°﹣180°＝48°，∴∠A＝∠A′＝48°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°，∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°，∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°．故答案为：96°．压轴突破7三角形中多结论问题44．如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与O的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D．下列四个结论：①OD∥CE；②∠E=90°−12∠BAC；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACGA．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④【分析】根据∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，得出CO平分∠ACB，求出∠OCE=∠ACO+∠ACE=12∠ACB+12∠ACG=90°，证明∠COD＝∠OCE，根据平行线的判定得出OD∥CE，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出∠E=12∠BAC，根据∠ABC+∠BAC≠180°，得出∠E≠90°−12∠BAC，判定②错误；先求出∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)=90°+12∠ACB，∠BDO=∠DOC+∠BCO=90°+12【解答】解：根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定逐项分析判断如下：∵∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，∴CO平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO=1∵CE平分∠ACG，∴∠ACE=∠GCE=1∴∠OCE=∠ACO+∠ACE=1∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠COD＝∠OCE，∴OD∥CE，故①正确；∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+1∠ACG＝∠BAC+∠ABC，又∵∠ECG=1∴∠E+1∴∠E=1∵∠ABC+∠BAC≠180°，∴∠E≠90°−12∠BAC∵∠OAB=12∠BAC∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°−1=180°−1=180°−90°+1=90°+1∵∠BDO＝∠DOC+∠BCO=90°+1∴∠AOB＝∠BDO，故③正确；∵∠ACG＝∠BAC+∠ABC，∠AOE=∠BAO+∠ABO=1∴∠ACG＝2∠AOE，故④正确；综上分析可知，正确的有①③④．故选：C．45．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB=12∠A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【解答】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；④∵∠ABC+∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∠DCB=1∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB=12（∠ABC+∠∵∠CGE＝90°，∴∠DFB=12∠CGE，故故选：C．46．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列结论：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB=12∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°+1A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用三角形内角和定理可得∠BAO＝∠BCD，即得∠BAO+∠BCE＝180°，再根据角平分线的定义可得∠PAB=∠PAO=12∠BAO，∠PCE=12∠BCE，得到∠PAO+∠PCE=12(∠BAO+∠BCE)=90°，即可判断①和②；延长AP交BC于点M，由三角形外角性质得∠APC＝∠AMC+∠BCP，∠AMC＝∠B+∠BAM，即得∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，又由∠B＝∠D，∠BAP+∠BC