2014重庆中考数学试题及答案b

2014重庆中考数学试题及答案b一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）A.-13B.-3C.3D.13A.等腰三角形B.平行四边形C.菱形D.等腰梯形A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4A.x>3B.x≥3C.x<3D.x≤3A.任意掷一枚硬币，正面朝上B.任意掷一个骰子，点数为6C.明天会下雨D.在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定A.(2,-3)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(-3,2)A.a²·a³=a⁶B.(a²)³=a⁵C.a⁶÷a²=a³D.(a²b)³=a⁶b³二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）1.分解因式：m²n-4mn=________。（4分）2.已知数据1,2,3,4,5的平均数是3，则这组数据的方差是______。（4分）3.在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______度。（4分）4.已知一元二次方程x²-5x+6=0的两个根分别为x₁、x₂，则x₁·x₂=______。（4分）5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠OAB=______度。（4分）三、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）1.先化简，再求值：(a+1)²/(a²-1)-1/(a-1)，其中a=√2-1。（12分）2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。(1)求证：AE=ED；（6分）(2)若AB=6，AC=9，求AF的长。（6分）四、应用题（共1小题，共16分）某商场销售一种商品，每件成本为40元，经市场调查发现，若按每件50元销售，每月可售出300件；若每件涨价1元，销售量将减少3件。商场要求每月利润不低于6000元，且销售量不低于200件。(1)若商场每月利润为7200元，求每件商品的售价；（8分）(2)若商场希望获得最大利润，应如何定价？此时最大利润是多少？（8分）五、综合题（共1小题，共16分）如图，在平面直角坐标系中，点A(-3,0)，B(0,4)，点P是线段AB上的一个动点，连接OP。(1)求线段AB所在直线的解析式；（5分）(2)当点P在线段AB上运动时，求△OPA面积的最大值；（5分）(3)若点C在x轴正半轴上，且OC=2OA，点Q是线段OC上的一个动点，连接PQ，当△OPQ与△OAB相似时，求点P的坐标。（6分）---参考答案及解析一、选择题1.B解析：(-2)³=-8，|-5|=5，所以(-2)³+|-5|=-8+5=-3。2.C解析：菱形既是轴对称图形（对角线所在直线为对称轴）又是中心对称图形（对角线交点为对称中心）。等腰三角形只是轴对称图形；平行四边形和等腰梯形只是中心对称图形。3.C解析：方程两边同乘以x(x-2)得：x+2(x-2)=x(x-2)化简得：x+2x-4=x²-2x即：x²-5x+4=0解得：x=1或x=4检验：当x=1时，原方程分母不为0；当x=2时，原方程分母为0，舍去。所以x=1是原方程的解。4.B解析：根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，即x-3≥0，所以x≥3。5.D解析：必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件。其他三个事件都是随机事件。6.A解析：点P到圆心O的距离d=3，圆的半径r=5，因为d<r，所以点P在⊙O内。7.A解析：点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y)，所以点A(-2,3)关于原点对称的点是(2,-3)。8.D解析：a²·a³=a^(2+3)=a⁵，所以A错误；(a²)³=a^(2×3)=a⁶，所以B错误；a⁶÷a²=a^(6-2)=a⁴，所以C错误；(a²b)³=a^(2×3)b³=a⁶b³，所以D正确。二、填空题1.mn(m-4)解析：m²n-4mn=mn(m-4)2.2解析：数据1,2,3,4,5的平均数是3，方差=[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]/5=(4+1+0+1+4)/5=10/5=23.90解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°4.6解析：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，两根之积c/a。这里方程x²-5x+6=0，所以x₁·x₂=6/1=65.30解析：AB是直径，点C在圆上，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。在△OAC中，OA=OC（都是半径），所以△OAC是等腰三角形，∠OAC=∠OCA。又因为∠ACB=90°，所以∠OCA+∠OCB=90°。在△OCB中，OB=OC（都是半径），所以△OCB是等腰三角形，∠OCB=∠OBC。因此，∠OAC+∠OBC=90°。在△ABC中，∠OAB+∠OBA+∠ACB=180°，即∠OAB+∠OBC+90°=180°，所以∠OAB+∠OBC=90°。比较两式可得：∠OAB=∠OBC=∠OCB。所以∠OAB=∠OCB，而∠OCB=30°，所以∠OAB=30°。三、解答题1.解：(a+1)²/(a²-1)-1/(a-1)=(a+1)²/[(a+1)(a-1)]-1/(a-1)[分解因式]=(a+1)/(a-1)-1/(a-1)[约分]=[(a+1)-1]/(a-1)[通分]=a/(a-1)当a=√2-1时，原式=(√2-1)/[(√2-1)-1]=(√2-1)/(√2-2)=(√2-1)/[√2(1-√2)]=(√2-1)/[-√2(√2-1)]=1/(-√2)=-√2/2错误分析：学生在约分时可能会忽略分母的分解，直接进行通分导致计算复杂；在代入求值时，可能会忘记将分母中的√2-2进行变形，导致结果形式不标准。2.解：(1)证明：因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。因为E是AD的中点，所以AE=ED。(2)解：过点D作DG∥BE，交AC于点G。因为AE=ED，所以AF=FG（三角形中位线性质）。因为BD=DC，所以CG=FG（三角形中位线性质）。所以AF=FG=GC。又因为AC=9，所以AF=9/3=3。错误分析：学生在证明第一问时，可能会混淆中点和中线的定义；在第二问中，如果不添加辅助线，直接使用相似三角形可能会使问题复杂化，或者在使用中位线性质时可能会忽略比例关系。四、应用题解：(1)设每件商品的售价为x元，则每件利润为(x-40)元，销售量为300-3(x-50)=450-3x件。根据题意，每月利润为7200元，所以：(x-40)(450-3x)=7200450x-3x²-18000+120x=7200-3x²+570x-18000=7200-3x²+570x-25200=0x²-190x+8400=0使用求根公式：x=[190±√(36100-33600)]/2=[190±√2500]/2=[190±50]/2x=120或x=70检验条件：当x=120时，销售量=450-3×120=450-360=90<200，不符合题意。当x=70时，销售量=450-3×70=450-210=240≥200，利润=(70-40)×240=7200，符合题意。所以每件商品的售价为70元。(2)利润函数为：y=(x-40)(450-3x)=-3x²+570x-18000这是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标为：x=-b/(2a)=-570/(2×(-3))=570/6=95检查x=95时销售量是否满足条件：销售量=450-3×95=450-285=165<200，不符合题意。因此，函数在区间[60,80]（销售量≥200对应x≤80）内单调递增，最大值在x=80处取得。当x=80时，销售量=450-3×80=450-240=210≥200，利润=(80-40)×210=8400元。所以商场应定价80元，此时最大利润为8400元。错误分析：学生在解决这类问题时，常常会忽略题目中的约束条件（如销售量不低于200件），导致得到不符合实际的解；在求最大值时，可能会忽略二次函数的开口方向和定义域的限制，直接求顶点而忽略约束条件。五、综合题解：(1)设线段AB所在直线的解析式为y=kx+b。因为点A(-3,0)和B(0,4)在直线上，所以：0=-3k+b4=0+b解得：b=4，k=4/3所以线段AB所在直线的解析式为y=(4/3)x+4。(2)设点P的坐标为(x,(4/3)x+4)，其中-3≤x≤0。△OPA的面积=(1/2)×OA×|y_P|=(1/2)×3×|(4/3)x+4|=(3/2)×|(4/3)x+4|因为-3≤x≤0，所以(4/3)x+4≥(4/3)×(-3)+4=-4+4=0，|(4/3)x+4|=(4/3)x+4所以△OPA的面积=(3/2)×((4/3)x+4)=2x+6这是一个关于x的一次函数，且系数为正，所以在x=0时取得最大值。当x=0时，△OPA的面积=2×0+6=6。所以△OPA面积的最大值为6。(3)因为点C在x轴正半轴上，且OC=2OA，OA=3，所以OC=6，点C的坐标为(6,0)。点Q在线段OC上，所以Q的坐标为(q,0)，其中0≤q≤6。当△OPQ与△OAB相似时，有两种情况：情况一：∠POQ=∠AOB，∠OPQ=∠OAB此时，PQ∥AB，所以k_PQ=k_AB=4/3点P的坐标为(x,(4/3)x+4)，点Q的坐标为(q,0)，所以：k_PQ=(0-((4/3)x+4))/(q-x)=-4/3即：-(4/3)(x+3)/(q-x)=-4/3(x+3)/(q-x)=1x+3=q-xq=2x+3因为0≤q≤6，所以0≤2x+3≤6，即-3/2≤x≤3/2又因为-3≤x≤0，所以-3/2≤x≤0此时，点P的坐标为(x,(4/3)x+4)，其中-3/2≤x≤0。情况二：∠POQ=∠OAB，∠OPQ=∠AOB此时，OP∥AB，所以k_OP=k_AB=4/3点P的坐标为(x,(4