广东省深圳市南方科技大学附属中学2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z满足z（3+2i）=13，则复数z的共轭复数的虚部为（）A.-2 B.2 C.-2i D.2i2.参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（）A.84+88i B.85+88i C.80+88i D.85+86i3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）=0.3，P（C）=0.6，则P（A∪B）=（）A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.94.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则=（）A.-6 B. C.0 D.5.已知两条不同直线a,b,两个不同平面α，β，下列命题中正确的是（）A.若a∥b,b⊂α，则a∥α

B.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则α∥β

C.若a∥α，b⊂α，则a∥b

D.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且（a+b）（sinA-sinB）＞csinC，则△ABC的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定7.某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如表所示：总人数（单位：万）样本平均分样本方差科技创新从业者109036传统行业从业者107064根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（）A.148 B.150 C.152 D.1548.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为5的正方形，，E，F分别是棱CD，AD的中点，M是侧面PCD内的一个动点，若BD⊥平面MEF，则动点M的轨迹长度是（）A. B. C.4 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若向量，满足，，则（）A.与的夹角为 B.

C. D.在上的投影向量为10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2；你是否经常吸烟？按调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）；摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案，最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正确的是（）A.估计被调查者中的有510人吸烟 B.估计约有10人对问题2的回答为“是”

C.估计该地区约有2%的中学生吸烟 D.估计该地区约有1%的中学生吸烟11.在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为2，则下列说法正确的是（）A.正四棱锥外接球的表面积是

B.正四棱锥内切球的体积是

C.正四棱锥的体积为

D.正四棱锥外接球的半径R与内切球的半径r之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面上两点A（2，3），B（4，-3），P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为

.13.在如表所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为

.12345678914.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,且c=4，c2=4acosA+a2cosC.若，则a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求角B；

（2）若，∠ABC的平分线交AC于点D，求BD.16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，N，M分别为AB，CC1的中点.

（1）证明：CN⊥AB1；

（2）证明：平面AMB1⊥平面ABB1A1.17.(本小题15分)

小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关.若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为x,，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响.

（1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率；

（2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率.18.(本小题17分)

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为45°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DC=3，DE=4，CF=5.

（1）求证：BF∥平面ADE；

（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；

（3）求点F到平面ABCD的距离.19.(本小题17分)

学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进.每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为-1.每位同学对n道菜品的喜好可以表示为一个n维向量，其中每个分量ai∈{1，-1}（i=1，2，…，n）.我们称为该生的n维喜好向量.已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：.若，则称他们“口味互补”.

（1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补.

（2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补.

（3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补.已知96道菜中有m道菜，这8名同学都喜欢，求证：m≤12.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】BC

11.【答案】BD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】证明：（1）因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所以△ABC为等边三角形，

又因为N为AB中点，所以CN⊥AB.

因为BB1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以CN⊥BB1．

又因为AB，BB1⊂平面ABB1A1，AB∩BB1=B，所以CN⊥平面ABB1A1．

又因为AB1⊂平面ABB1A1，所以CN⊥AB1．

（2）设AB1的中点P，连接PM，NP．延长NP与A1B1交于Q，连接C1Q，如图所示．

显然Q为A1B1中点．

因为，

且AC=A1C1=B1C1，CM=C1M，所以AM=B1M，

又因为PM为中线，所以PM⊥AB1．

因为PN∥BB1，，CM∥BB1，，

所以PN∥CM，PN=CM，所以四边形PNCM为平行四边形．

因为CM⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以CM⊥CN，

所以四边形PNCM为矩形，所以PM⊥PN．

又因为PM⊥AB1，PN∩AB1=P，PN，AB1⊂平面ABB1A1，所以PM⊥平面ABB1A1．

又因为PM⊂平面AMB1，所以平面AMB1⊥平面ABB1A1．

17.【答案】

18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF，

所以AD∥平面BCF，∵DE∥CF，CF⊂平面BCF，DE⊄平面BCF，所以DE∥平面BCF，

AD∩DE=D，∴平面BCF∥平面ADE，∵BF⊂平面BCF，∴BF∥平面ADE；

（2）解：∵CD⊥AD，CD⊥DE，∴∠ADE即为二面角A-CD-F的平面角，∠ADE=45°，

又AD∩DE=D，AD、DE⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，因为AO⊂平面AD，

所以CD⊥AO，又CD∩DE=D，CD、DE⊂平面CDEF，所以AO⊥平面CDEF，连结CO，

所以直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，，，所以，

∴直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为；

（3）解：由（2）得AO⊥平面CDEF，又VF-ACD=VA-CDF，所以距离d=，

又由已知可得S△ACD=，S△ACD=3，，所以．

19.【答案】（1，1，1，1），（-1，-1，1，1），（-1，1，-1，1），（-1，1，1，-1）

假设存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补，

设这6个向量为，

因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的数量积不变，

所以不妨设，