湖南省名校联盟2026-2027学年高二上学期9月测评数学试卷（含答案）

湖南省名校联盟2026-2027学年高二上学期9月测评数学试卷试卷满分:150分考试时间:120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，若，则(

)A. B. C. D.2．复数的共轭复数是(

)A. B. C. D.3．已知集合，，则(

)A. B. C. D.4．2026年美加墨世界杯射手榜前10名的成绩（单位：粒）分别为：10，8，7，7，6，6，5，4，4，4，则这10名成绩的第60百分位数为(

)A.6 B.7 C. D.5．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则(

)A.11 B.1 C.-1 D.-116．已知，则(

)A. B. C. D.7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，现以所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭的几何体，则这个几何体的体积为(

)A. B. C.或 D.或8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，点P为的费马点，则的最小值为(

)A.-12 B.-18 C.-20 D.-24二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．一个盒子中有2个红球，3个绿球，每个球大小、质地均相同，采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.记事件A为“第1次取出的球是红色”，事件B为“第2次取出的球是红色”，则(

)A. B. C. D.10．已知a，b，c为实数，则下列命题成立的是(

)A.若，则B.，b，，都有C.若，则的最大值为D.若，则的最小值为411．已知正方体的棱长为2，点P为正方体表面上一动点.则下列说法正确的是(

)A.当点P在线段上时，直线与直线可能是异面直线B.当点P在线段上时，C.当点P在线段上时，的最小值为D.当点P在侧面上时，且三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知偶函数，则____________.13．如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点C为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为_____.14．若，且，满足，则的最大值为_____.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知，.(1)求；(2)若与垂直，求λ的值.16．（15分）已知函数，若将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.(1)求函数的最小正周期和其图象的对称中心；(2)若函数（）为偶函数，求θ的值.17．（15分）如图所示，质点α，β在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点A，B同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动.一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次.(1)求质点α移动一次移动到顶点B的概率；(2)求质点α与β各移动2次后均移动到顶点A的概率；(3)求质点α与β各移动3次后至少有一个移动到顶点A的概率.18．（17分）如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，M为的中点，为直线与平面所成的角，且，点E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：；(3)线段上是否存在一点N，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．（17分）如图，在中，点D在边上，且，.(1)若，求；(2)若为的角平分线，求的面积；(3)若为锐角三角形，求的取值范围.参考答案1．D2．B3．B4．C5．A6．D7．C8．B9．AD10．BCD11．BC12．313．14．15．(1)因为，所以①，又因为②，得：，所以，再将代入②得：，即，所以，所以.(2)，因为与垂直，所以，所以，解得.16．(1)因为，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到图象对应的解析式为：；再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则；则函数的最小正周期；令，得，则函数的图象的对称中心为：，.(2)，因为为偶函数，所以，则，，又因为，则或.17．(1)设事件“质点α移动一次移动到顶点B”，因为质点α从顶点A出发，且每次等可能地沿棱移动到顶点B，C，D处，所以；(2)设事件“质点α移动2次后移动到顶点A”，事件“质点β移动2次后移动到顶点A”，事件E包括下列三种情况：；；，所以；事件F包括下列两种情况：；，所以，则，即这两个质点移动2次后都移动到顶点A的概率为；(3)设事件“质点α移动3次后移动到顶点A”，事件“质点β移动3次后移动到顶点A”，事件G包含下列6种情况：，，，，，，则；事件H包含下列7种情况：，，；，，，，所以，则，即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点A的概率为.18．(1)证明：因为平面，平面，平面平面，所以.所以，又因为是正三角形，所以.又因为，，所以，则，则，所以.又因为E为的中点，所以，又因为，，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面；(2)证明：因为点M为中点，所以，又因为，，所以，即，即，所以，.因为为直线与平面所成的角，所以过点P作平面，垂足O一定在直线上，因为平面，所以，又因为是正三角形，M为的中点，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，且M为的中点，所以；(3)由(2)知，且，，所以，所以，连接，因为M为的中点，所以，又因为，则即为二面角的平面角，即，在中，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，所以，所以.19．