人教版数学七年级上册 导学案25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题 学案 含答案

2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】第25章一元二次方程25.3实际问题与一元二次方程25.3第1课时几何图形的面积与边长问题【学习目标】1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.学习重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.学习难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.【复习导入】问题：应用方程解实际问题的步骤是什么？【合作探究】探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁.例2用一根长为40m的细绳能否围成一个面积为96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？思考:对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m；(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为m；能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.练一练1.将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．2.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.归纳总结：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例3如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？变式题1：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？变式题2：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？变式题3：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).当堂反馈1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为()A.x(20＋x)＝64 B.x(20－x)＝64C.x(40＋x)＝64 D.x(40－x)＝642.若用一条长为30cm的铁丝围成一个斜边长是13cm的直角三角形，则两直角边的长分别为cm，cm.3.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？书写通关解：设.根据题意得.解得.(x＝不合题意，舍去)答：.4.如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？参考答案【合作探究】探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题例1解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数.由勾股定理，得x²＋(x＋1)²＝(x＋2)².解方程，得x1=3，x2=－1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.例2解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20－x)m；再由矩形的面积为96m²，得x(20－x)＝96.解方程，得x1=12，x2=8.可知12m和8m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.思考:方法一：设一边长为xcm，邻边长为96/xm.根据矩形周长公式2(x+96/x)=40解方程，得x1=12，x2=8.方法二：可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m；根据矩形周长公式(10+x)(10－x)＝96解方程，得x1=2，x2=-2.则其两邻边长分别为12m，8m.特点：方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程.方法二：利用“周长为40，则长+宽=20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值.练一练1.解：设一个正方形的周长为xcm，则另一个正方形的周长为(20－x)cm.(1)由题意可列方程解此方程，得x1＝16，x2＝4.所以两段铁丝的长度分别为16cm和4cm.(2)由题意可列方程此方程化为一般形式为x2－20x＋104＝0.∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.2.解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由题意，得(80－2x)(60－2x)＝1500，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x＞0，∴x＝55(舍).∴小正方形的边长为15cm.例3方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.答：道路的宽为2米.方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.答：道路的宽为2米.变式题1：解：设道路的宽为x米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.∴x=2.答：道路的宽为2米.变式题2：解：设道路的宽为x米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x1=18-，x2=18+≈34.55（不合题意，舍去）.答：道路的宽为(18-)m.变式题3：解：设道路的宽为x米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得x1=1，x2=25（不合题意，舍去）.∴x=1.答：道路的宽为1米.当堂反馈1.B2.5，12.3.书写通关解：设道路宽为xm.根据题意得(22－x)(17－x)＝300.解得x1＝37，x2＝2.(x＝37不合题