2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第50讲　二项式定理及其应用

第十章第50讲二项式定理及其应用计数原理、概率及其分布知识整合·体系建构1．(教材经典题)(x－1)10的展开式的第6项的系数是 (

)【解析】C2．(教材经典题)若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(

)A．4

B．5C．6

D．7【解析】C3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为

(

)A．－27

B．27C．16

D．－16【解析】

方法一：(1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4＋8＝－27．方法二：令x＝1，得各项系数和为(1－2)×(1＋2)3＝－27．A4．(教材经典题改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是

(

)A．74

B．121C．－74

D．－121【解析】D5．(教材经典题)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．【解析】

在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4．所以展开式中，含x4的项的系数是－15．－151．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝____________________________________(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝____________，它表示第_______项二项式系数k＋12．二项式系数的性质2n2n－1题型突破·思维拓展目标1展开式中的特定项视角1(a＋b)n的展开式

(1)(2025·张家口三模)若(2－x)n的展开式中x2项的系数为240，则n＝

(

)A．4

B．5C．6

D．81－1【解析】【答案】C【解析】1－11求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．视角2

(a＋b)m(c＋d)n的展开式【解析】D1－2A．24

B．－24 C．－36

D．－40(2)(2026·青岛期初)(x＋y)(x－y)5的展开式中，x4y2项的系数是_____．【解析】5对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．视角3

(a＋b＋c)n的展开式【解析】1－3【答案】－873要求三项展开式中指定的项，常有这几种做法：(1)两项看成一项，利用二项式定理展开；(2)因式分解，转化为两个二项式再求解；(3)看作多个相同因式的乘积，用组合的知识解答．目标2二项式系数与项的系数问题视角1

二项式系数和与所有项系数和

(1)(2026·唐山期初)(多选)在(x－y)5的展开式中，下列说法正确的是

(

)A．一共有5项 B．第3项为－10x3y2C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32

(x－y)5的展开式共有6项，故A不正确；【解析】

(x－y)5的展开式共有6项，故A不正确；2－1令x＝y＝1，可得所有项的系数和为0，C正确；所有项的二项式系数和为25＝32，D正确．CD

(2)(多选)若(1－2x)2026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2026x2026，则下列结果正确的是 (

)2－1【解析】

令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2026＝(－1)2026＝1①，故A正确；两边对x求导得－4052(1－2x)2025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2026a2026x2025，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2026a2026＝4052，故D正确．【答案】ABD变式2

(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是 (

)A．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2B．a7＝96C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝4D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝－15【解析】

对于A，令x＝－1，得a0＝28＝256．令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2，因此a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2－a0＝－254，A错误；对于C，令x＋1＝2，即x＝1，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝0，C错误；对于D，原等式两边求导得(x－1)8＋8(x＋2)(x－1)7＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋9a9(x＋1)8，令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝(－1)8＋8×2×(－1)7＝－15，D正确．【答案】BD视角2

二项式系数与项的系数的最值

(1)(3＋2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为

(

)A．8

B．7C．6

D．5【解析】2－2C【解析】2－25目标3二项式定理的综合应用

(1)已知今天是星期三，则67－1天后是 (

)A．星期一

B．星期二C．星期三

D．星期五3【解析】A【解析】3D【解析】A2．(2026·济南期初)(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ (

)A．1

B．2C．3

D．4【解析】BA．n＝8B．展开式中各项系数的和为38C．展开式中存在常数项D．展开式中x6的系数为16【解析】

对于A，由二项式系数和的性质得2n＝256，解得n＝8，故A正确；【答案】AC4．已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝

(

)A．9

B．10 C．18

D．19【解析】

由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9，令x＝2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19．D配套精练A组夯基精练一、单项选择题

A．4

B．5C．6

D．8【解析】A2．(2025·福州三模)设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ (

)A．－2

B．－1C．0

D．1【解析】

令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．A【解析】【答案】BA．－840

B．－420 C．420

D．840【解析】C5．(2025·镇江期初)若(3＋x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5＝ (

)A．－31

B．31C．－32

D．32【解析】

令x＝－1，得(3－1)5＝a0，即a0＝32；令x＝－2，得(3－2)5＝1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，即1＝32－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1－a2＋a3－a4＋a5＝31．B6．(2025·汕头一模)在(x－2021)(x＋2022)(x－2023)(x＋2024)(x－2025)的展开式中，含x4的项的系数是 (

)A．－2025

B．－2023C．－2021

D．2025【解析】

根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得x4项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为－2021＋2022－2023＋2024－2025＝－2023．B二、多项选择题7．(2026·益阳期初)若(x＋1)(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则 (

)A．a0＝64 B．a7＝64C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝2 D．a1＋a3＋a5＋a7＝a2＋a4＋a6【解析】

对于A，令x＝0，得1×(－2)6＝a0，即a0＝64，故A正确．对于C，令x＝1，得2×(－1)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，即a0＋a1＋a2＋…＋a7＝2，故C正确．【答案】AC【解析】对于B，二项式系数的和为26＝64，故B正确；【答案】BC9．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有 (

)A．a0＝1 B．a2＝42【解析】

对于A，令x＝0，则a0＝(0＋0＋1)9＝1，A正确．对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，D正确．【答案】AD三、填空题10．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_____，a1＋a2＋a3＋a4＝______．【解析】

令x＝0，则a0＝1．又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4．令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15．11511．(2025·苏州期末)已知x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2＝______．【解析】2812．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为________．【解析】

(x－1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n的展开式各项系数之和，则(1＋1)n＝512，得n＝9，则(x＋1)8(x－1)n＝(x2－1)8(x－1)．－5613．(2025·梅州质检)912的末三位数是_______．【解析】48114．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式(a＋b)n(n＝1，2，3，…)展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第k(k≤n，k∈N*)个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前