2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第33讲　空间点、线、面之间的位置关系

第七章第33讲空间点、线、面之间的位置关系立体几何知识整合·体系建构1．(教材经典题)下列说法正确的是

(

)A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面

D．圆心和圆上两点确定一个平面【解析】

对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故C正确．对于D，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故D错误．C2．(教材经典题)设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b (

)A．平行

B．相交C．是异面直线

D．可能相交，也可能是异面直线【解析】

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．D3．(教材经典题改编)已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是

(

)A．平行或相交

B．相交或异面C．平行或异面

D．平行、相交或异面【解析】

当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件．在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．D4．(教材经典题改编)下列说法正确的是

(

)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点【解析】

对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误．对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误．对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误．对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．D【解析】【答案】45°

60°1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l

直线与直线直线与平面平面与平面独有关系图形语言

符号语言a，b是异面直线a⊂α

3．平行直线(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线(1)判定：与一个平面相交的直线和这个平面内______________的直线是异面直线，如图所示．不经过交点(2)异面直线所成的角：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角，其取值范围为__________．5．常用结论(唯一性定理)(1)过直线外一点________________直线与已知直线平行；(2)过直线外一点________________平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点________________平面与已知平面平行；(4)过平面外一点________________直线与已知平面垂直．有且只有一条有且只有一个有且只有一个有且只有一条题型突破·思维拓展目标1平面的基本事实及应用如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1)求证：C1，O，M三点共线；1【解答】

因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1．又因为A1C⊂平面ACC1A1，所以O∈平面ACC1A1．因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD．又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1．又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(2)求证：E，C，D1，F四点共面；1【解答】

如图，连接BA1，EF，D1C，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥BA1．又因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以BA1∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，F，C，D1四点共面．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(3)求证：CE，D1F，DA三线共点．1【解答】

因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以直线CE，D1F，DA三线交于一点P，即三线共点．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．变式1如图(1)，M，N分别为AB和C1D1的中点，P，Q分别为BC和CC1的一个三等分点(都靠近点C)．(1)求证：AP，DC，D1Q三线共点；【解答】图(1)

图(1)变式1如图(1)，M，N分别为AB和C1D1的中点，P，Q分别为BC和CC1的一个三等分点(都靠近点C)．(2)过点M，N，Q三点作该正方体的截面，在图(2)中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)．图(1)

图(2)

【解答】

如图(2)，六边形MPQNTS即为所求作的截面．图(2)

目标2空间两直线的位置关系如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．(1)求证：四边形EFD1C是梯形；

2【解答】由正方体性质可得A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以CD1∥A1B，因此EF∥CD1，但EF≠CD1，可知四边形EFD1C是梯形．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．(2)求证：直线BC和直线D1F是异面直线．2【解答】

假设直线BC和直线D1F不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC⊂α，D1F⊂α．易知AD∥BC，BC⊂α，AD⊄α，因此AD∥α，又AD⊂平面ADD1A1，且平面ADD1A1∩α＝D1F．所以AD∥D1F．在正方形ADD1A1中，显然AD∥D1F不成立，故矛盾，假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．证明直线异面通常用反证法，假设两直线共面，从共面出发推导出矛盾，有时也可用直接法证明．A．AE＝CF，AC与EF是共面直线

B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线

D．AE≠CF，AC与EF是异面直线【解析】D目标3异面直线所成角的计算3【解析】

方法一：如图，过点B作BB1∥AA1交圆柱的上底面于点B1，连接A1B1，B1O，则由圆柱的性质易证四边形A1B1BA为矩形，所以A1B1∥AB，所以∠B1A1O或其补角即为异面直线A1O与AB所成的角．异面直线所成角的求法1．平移使相交：通过平移一条(或两条)，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角；【解析】

如图，连接BC1，PC1．因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PC1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1．又PC1⊥B1D1，BB1，B1D1⊂平面PBB1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1．又PB⊂平面PBB1，所以PC1⊥PB．【答案】D变式3

(2)(2025·肇庆三模)已知P是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上的一个动点，AA1＝2AD＝4，当直线AP与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC1所成角的余弦值为 (

)【解析】

如图，分别取AA1，BB1，CC1，DD1的中点R，S，P′，Q，则四棱柱ABCD－RSP′Q是正方体，此时AP′与正四棱柱六个面所成角的大小都相等(P′即为题中点P)，所以∠PAC1就是AP与AC1所成的角．A1．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有 (

)A．1条或2条

B．2条或3条C．1条或3条

D．1条或2条或3条D2．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件A3．已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是 (

)A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直【解析】

对于A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有相交或直线在平面内，且m⊂α，则l与m的位置关系有平行、相交或异面，故A错误；对于B，若l∥α，则l与m可能垂直，如图(1)所示，l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；图(1)

对于C，若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；对于D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图(2)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误．图(1)

图(2)

【答案】B4．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

(

)【解析】

如图，连接BC1，A1C1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则有BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角．【答案】C配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是

(

)A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点C．b∥c D．b∩c＝P【解析】

因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为a＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ．因为α∩γ＝c，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如图，故A，B，C错误．D2．下列命题正确的是

(

)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交【解析】

若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A不正确；若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，故B正确；已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行或异面，故C错误；已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b∥平面α或b与α相交，故D错误．B3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1与平面AEF的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为 (

)【解析】

因为E，F分别为棱BC，B1C1的中点，所以BB1∥EF，因为EF⊂平面AEF，BB1⊄平面AEF，所以BB1∥平面AEF．又平面DBB1∩平面AEF＝l，BB1⊂平面DBB1，所以BB1∥l．又AA1∥BB1，所以AA1∥l．CA．AF，BE是异面直线，AF⊥BEB．AF，BE是相交直线，AF⊥BEC．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直【解析】

显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE，与平面ACD内不经过点E的直线AF是异面直线．下面证明BE与AF垂直：如图，连接BF，取AF的中点Q，连接BQ，EQ，因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，所以BF⊥CD．因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF，【答案】A二、多项选择题5．以下说法正确的是

(

)A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直C．若两个平面平行，则它们没有公共点D．若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直AC6．(2026·连云港期中)已知a，b为两条异面直线，α，β为两个不重合的平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，那么直线l

(

)A．可以与a，b都垂直

B．至少与a，b中一条相交C．至多与a，b中一条相交

D．至少与a，b中一条平行【解析】

因为a，b为两条异面直线且a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，所以a与l共面，b与l共面．若l与a，b都不相交，则b∥l，a∥l，a∥b，与a，b异面矛盾，所以l至少与a，b中一条相交，故B正确，C，D错误；当a，b为如图所示的位置时，可知l与a，b都相交，直线l可以与a，b都垂直，故A正确．AB7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有 (

)A．l过点B1B．l不一定过点B1C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上【解析】

如图，连接PB1，QB1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取BB1的中点N，连接CN，则DP∥CN∥QB1，DP＝CN＝QB1，所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DPB1Q，B1∈平面A1B1C1D1，所以B1∈l，故A正确，B错误．如图，DP的延长线与D1A1的延长线交于点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交于点E，因为DP⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q．因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈平面A1B1C1D1，所以F∈l．因为DQ⊂平面DPB1Q，所以E∈平面DPB1Q．因为D1C1⊂平面A1B1C1D1，所以E∈平面A1B1C1D1，所以E∈l，故C错误，D正确．【答案】AD

三、填空题8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．【解析】

如图，补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，则AB1∥C1D，所以AB1与BC1所成角为∠BC1D或其补角．【解析】四、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．(1)AM和CN是否为异面直线？请说明理由；【解答】

AM和CN不是异面直线．理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC，因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1．因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C四点在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．(2)D1B和CC1是否为异面直线？请说明理由；【解答】

D1B和CC1是异面直线．理由如下：因为几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以点B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使得D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以点D1，B，C，C1∈α，与几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾，所以假设不成立