2027届高考数学知识衔接第五篇向量与几何专题12等和线微点3等和线综合训练

第五篇向量与几何

专题12等和线

微点3等和线综合训练

一、单选题

（2023春·浙江温州·高一期中考试）

1．如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，OA与OB的夹角为120°，OA，OC的夹角为150°，且

OAOB1，OC33，若OCOAOB,R，则（）

99

A．B．9C．D．9

22

（2023春·安徽池州·高一期中考试）

2．已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ

的取值范围为（）

A．[－2，2]B．(1，2]

C．[1，2]D．[1，2]

（2023秋·广西·高三月考）

3．已知半径为2的扇形AOB中，AOB120，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且OPOAOC，

则的最大值为（）

21221421

A．2B．C．D．

333

4．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120，点C在弧AB上，且COB30，若OCOAOB，

则（）

试卷第1页（共6页）

3

A．B．3

3

43

C．D．23

3

5．如图，在扇形OAB中，AOB30，C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点，且OCxOAyOB，

若xy（0）存在最大值，则的取值范围是（）

333333323

A．(,)B．(,)C．(,)D．(,)

43324223

（2023秋·江西抚州·高三江西省临川第二中学期中）

6．如图，在扇形OAB中，AOB600，C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点，且OCxOAyOB，

若uxy（0）存在最大值，则的取值范围为（）

111

A．(1,3)B．(,3)C．(,1)D．(,2)

322

7．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若

OCxOAyOB，其中x,yR，则3x5y的最大值为（）

A．34B．5C．37D．6

8．给定两个长度均为2的平面向量OA和OB，它们的夹角为150.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，

3

如图所示.若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是（）

3

A．27B．19C．2D．47

（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学月考）

9．如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB2AD2CD2CB2，点P在线段BC上运动，若

试卷第2页（共6页）

APxAByAD，则x2y2的最小值为（）

541313

A．B．C．D．

45164

（2023秋·北京·高三北京八中月考）

4m

10．如图，已知OAOB1，OC2，tanAOB，BOC45，OCmOAnOB，则等

3n

于

5737

A．B．C．D．

7573

二、多选题

（2023春·浙江台州·高一温岭中学月考）

11．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，

则可能的整数值为（）

A．3B．1C．0D．1

（2023春·辽宁东港二中月考）

12．已知ABC中，ABAC2,BC2,D是边BC的中点，动点P满足PD1,APxAByAC，则（）

A．xy的值可以等于2

B．xy的值可以等于2

试卷第3页（共6页）

C．2xy的值可以等于1

D．x2y的值可以等于3

13．已知正ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足APxAByAC，有xy1，且PD1，

则（）

3

A．xy的最小值为1B．xy的最大值为1

3

15

C．x2y的最小值为D．x2y的最大值为

22

（2022·山东·山师附中模拟预测）

14．直角梯形ABCD中，CBCD,AD//BC,ABD是边长为2的正三角形，P是平面的动点，|CP|1，设

APADAB(,R)，则的值可以为（）

A．0B．1C．2D．3

三、填空题

（2023秋·上海徐汇·高二位育中学期中）

15．如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，

且OAOB1，OC23，若OCxOAyOB(x,yR)，则(x,y)___________.

（2023秋·上海长宁·高二统考期末）

16．如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OC与OA和OB的夹角分别为30和90，且

|OA||OB|1，|OC|23，若OCOAOB(,R)，则2________．

（2023·四川成都·川大附中模拟预测）

17．如图，在直角梯形ABCD中，ABAD,ADDC2,AB6，动点P在以点C为圆心且与直线BD

相切的圆上运动，设APmADnAB(m,nR)，则mn的取值范围是___________.

试卷第4页（共6页）

（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第二中学月考）

18．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，

则的最小值为______.

（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学月考）

19．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120，点C在弧AB上，且COB30．若OCOA2OB，

则______．

（2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学月考）

20．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB

上运动，若OCxOAyOB，其中x,yR，则xy的最大值是________.

（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学月考）

21．已知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足|PD|1，且APxAByAC，其中xy1，

则2xy的最大值为___________．

四、双空题

（2023·全国·高一专题练习）

22．给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB

上运动，若OC=xOAyOB，其中x,yR，则xy的最大值是_____；2xy的最大值是______.

试卷第5页（共6页）

23．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，

若OCxOAyOB，其中x、yR.则xy的最大值为______；xy的取值范围是______.

五、解答题

（2023春·山西运城·高一月考）

24．如图，平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|

＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.

试卷第6页（共6页）

《第五篇向量与几何专题12等和线微点3等和线综合训练》参考答案：

1．B

【分析】作OB的相反向量OB，再以射线OC，OA为邻边，以OB为对角线作ODBE，根据向量加法

求解即可.

【详解】作OB的相反向量OB，再以射线OC，OA为邻边，以OB为对角线作ODBE，

因为OA与OB的夹角为120°，OA，OC的夹角为150°，且OAOB1，OC33，所以

DOB90,EOBOBD60，

所以ODtan60|OB|3，OE2|OB|2，

1

所以OB2OAOC，

3

1

所以OBOB2OAOC，即

3OC6OA3OB

即9．

故选：B

2．D

【分析】建立直角坐标系，把OC＝λOA＋μOB转化为坐标运算，得到＋＝2sin()，利用三角函

6

数求最值.

【详解】设半径为1.由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，

132

则A(,)，B(1，0)，C(cosθ，sinθ)（其中BOC(0)），

223

答案第1页（共19页）

13

则由OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，可得(cosθ，sinθ)＝λ(,)＋μ(1，0)，

22

132sinsin2sinsin

整理得：－λ＋μ＝cosθ，λ＝sinθ，解得λ＝，μ＝cosθ＋，则λ＋μ＝＋cosθ＋＝

223333

22

3sinθ＋cosθ＝2sin()（其中0），易知λ＋μ＝2sin()在0,上单调递增，在,上

636333

单调递减，由单调性易得其值域为[1，2]．

故选：D

3．C

【分析】根据等和线性质,利用平行线的方法,求半径2与O到AC的距离d的比值即可.

13

【详解】由题有AOC面积S21sin120,又由余弦定理

AOC22

AC2OC2OA22OCOAcos1201427.故AC7.

133

故O到AC的距离d满足SAOCACdd.

227

27221

故的最大值为2

d33

故选：C

【点睛】本题主要考查与有关的等和线问题,求出P所在的位置对应的的值即可.属于中等题型.

4．B

【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.

【详解】

如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，B1,0

31

BOC30,OC1，Ccos30,sin30，即C,，

22

答案第2页（共19页）

13

BOA120,OA1，Acos120,sin120，即A,，

22

3113

又OCOAOB，,,1,0，

2222

313

223

，解得，3，

1323

223

故选：B

【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，向量的运算有两种

方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是平行四边形法则与三角形法

则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答.

5．D

【分析】在OB上找一点B，以OB,OA为基底表示出OC根据A,B,C三点共线列方程，从而求得范围.

【详解】

1

设射线OB上存在为B，使OBOB，AB交OC于C，

1

由于OCxOAyOBxOAyOBxOAyOB，

设OCtOC，OCxOAyOB，

由A,B,C三点共线可知xy1，

所以uxytxty1，

OC

则μ存在最大值1，即在弧AB（不包括端点）上存在与AB平行的切线，

OC

323

所以,．

23

323

故答案为,

23

6．D

【详解】设扇形所在圆的半径为1，以OB所在的直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，

答案第3页（共19页）

13

设COB((0,))，则C(cos,sin),B(1,0),A(,)，由题意可得

322

12

cosxyxsin

1323

(cos,sin)x(1,0)y(,){{

223sin

sinyycos

23

2π

令fuxysincos,0,

33

π2π

则f()在0,上不是单调函数，从而f()cossin在0,上一定有零点

333

22

即tan在0,时有解，可得(0,3)

333

1

解得(,2)，经检验此时f()取得最大值

2

故答案选D

【方法点睛】解此题首先把已知条件坐标化，这是我们解决平面向量中最值问题的常用手段，其次在把问

题转化为方程有解的问题，这个是解决这道问题的关键点，同时本题也极易忽略验证在函数零点处函数是

不是取得最大值．

7．A

【分析】如图所示，建立直角坐标系．可得OCxOAyOB(x,y)，设Ccos,sin（0,）．可

2

53

得3x5y3cos5sin34sin，其中cos,sin．利用三角函数性质即可得出最

3434

值．

【详解】解：如图所示，建立直角坐标系．

A1,0,B0,1．

OCxOAyOB(x,y)，设Ccos,sin（0,）．

2

53

则3x5y3cos5sin34sin，其中cos,sin．

3434

∴3x5y34，当且仅当sin1时取等号．

故选A．

【点睛】本题主要考查了圆的参数方程应用，还考查了辅助角公式、三角函数性质及计算能力，属于中档

题．

答案第4页（共19页）

8．A

【分析】建立空间直角坐标系，得到A(2,0)，B(3，1).设AOC，则OC(2cos,2sin)，根据

3x3sin3cos

OCxOAyOB，解得，然后由xy5sin3cos27sin()，利用正弦函数

3y2sin

的性质求解.

【详解】解：建立如图所示的坐标系，

则A(2,0)，B(2cos150,2sin150)，

即B(3，1).

设AOC，则OC(2cos,2sin).

3

OCxOAyOB

3

331

(x，0)(y，y)(cos，sin).

322

33y

xcos

32

1

ysin

2

x3sin3cos

y2sin

3

xy5sin3cos27sin()，（此时有tan，是个锐角）.

5

0150.

可取到90.

xy有最大值27，

故选：A.

9．B

11

22xy

2

222212

【分析】利用坐标法，设BPBC,01，可得，进而可得xy1，

332

y

22

答案第5页（共19页）

然后利用二次函数的性质即得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

3313

则A0,0,B2,0,C,,D,，

2222

1313

∴AB2,0,AD,,BC,，

2222

13

设BPBC,01，BPBC,，

22

13

∴APABBP2,，

22

1313

又APxAByADx2,0y,2xy,y，

2222

11

22xy

22

∴，

33

y

22

1

解得x1,y，

2

22

2212525244

∴xy11，

244555

4

即x2y2的最小值为.

5

故选：B.

10．A

【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方

程，求解即可．

【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：

答案第6页（共19页）

434

因为OAOB1，且tanAOB，∴cosAOB，sinAOB，

355

4

1

34

∴A（1，0），B（，），又令AOCθ，则θ=AOBBOC，∴tanθ3=7，

4

551

3

27217

又如图点C在∠AOB内，∴cosθ=，sinθ=,又OC2，∴C（，），

101055

173434

∵OCmOAnOB，（m，n∈R），∴（，）=（m,0）+（n，n）=(mn，n）

555555

137475m5

即mn，n，解得n=，m=，∴，

555544n7

故选A．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，

涉及到三角函数的求值，属于中档题．

11．AB

【分析】建系后利用坐标对应关系，结合圆的三角换元，表示出，利用三角函数最值即可求解.

【详解】

以A点为原点，建立直角坐标系，则D(2,0)，B(0,1)，

所以AB=(0,1),AD=(2,0),

1225

圆C的半径为r，

12225

4

所以圆C:(x2)2(y1)2，

5

答案第7页（共19页）

2525

所以圆上点P(2cos,1sin)，

55

2525

所以AP=(2cos,1sin)，

55

因为APABAD，

25

2cos=0+2

5

所以,

25

1sin=+0

5

5

=1cos

5

所以,

25

=1sin

5

255525

所以=sincos2=sin()2，其中sin，cos.

5555

所以1sin()1,

所以1sin()23，

即1+3，

所以可能的整数值为：1,2,3.

故答案为：AB.

12．AD

【分析】确定P在以BC为直径的圆上，分别以AB,AC为x,y轴建立平面直角坐标系，得出圆的方程，由

APxAByAC求出P点坐标代入圆方程得出x,y满足的关系式，用三角换元法把x,y用表示，然后根据

两角和与差的正弦公式及辅助角公式，结合正弦函数性质判断各选项．

【详解】因为ABAC2,BC2，所以BAC，AD1，

2

PD1，则P在以BC为直径的圆上，如图A也是该圆上的点．

22

分别以AB,AC为x,y轴建立平面直角坐标系，则圆D方程是(x)2(y)21，

22

AB(2,0)，AC(0,2)，

APxAByAC(2x,2y)，即P(2x,2y)，

22

所以(2x)2(2y)21，

22

111

(x)2(y)2．

222

1212

可设xcos，ysin，

2222

22

所以xy1cossin1sin()，

224

答案第8页（共19页）

时，xy2，A正确；

4

同理xysin()1，B错误；

4

3232

2xy2cossin(2cossin)，

2222

310

易知2cossin5，所以2xy1，C错；

22

3232

x2ycos2sin(cos2sin)，

2222

310310310310

易知5cos2sin5，所以x2y，3，0，D正确；

22222222

故选：AD．

13．ABD

【分析】以点D为原点、边BC为x轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cos,sin)，利用平

131

xsincos

262

面向量的坐标运算得到，再结合角的范围逐一验证各选项.

131

ysincos

262

【详解】以点D为原点、边BC为x轴建立平面直角坐标系（如图所示），

则D(0,0)，A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)；

因为PD1，所以点P在以D(0,0)为圆心、1为半径的圆上，

答案第9页（共19页）

设P(cos,sin)，则AP(cos,sin3)，

AB(1,3)，AC(1,3)，

cosxy

又因为APxAByAC，所以，

sin33x3y

131

xycosxsincos

262

即3，即，

xysin1131

3ysincos

262

又因为xy1，所以sin0，即π2π；

对于A：因为π2π，所以-1＃cosθ1，

则xycos1，即xy的最小值为1，

即选项A正确；

对于B：因为π2π，所以1sin0，

333

则xy1sin1，即xy的最大值为1，

333

即选项B正确；

131

xsincos

262

对于C、D：因为且π2π，

131

ysincos

262

331π3

所以x2ysincoscos()，

22232

4ππ7π

因为π2π，所以

333

1π5

所以cos()1，所以1x2y，

232

5

即x2y的最小值为1，最大值为，

2

即选项C错误，选项D正确.

故选：ABD.

14．BC

【分析】先建立坐标系，再通过向量的相等求出,，最后求出即可作出判断.

答案第10页（共19页）

【详解】

以C为原点，BC为x轴，CD所在直线为y轴，建立直角坐标系，

B(1,0),A(2,3),D(0,3),

CP1,可设CPcos,sin,取[0,2),

AD2,0,AB1,3,AC2,3,APACCPcos2,sin3,因为APADAB，

所以cos2,sin32,3，

3

sin1

2+cos+2313333

，cossin=sin，

3sin3131262332

cossin

262

5

因为[0,2)，所以，

333

因此可得1sin1，

3

3333

所以[,]，

2323

可知1和2在此区间内.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标系，通过向量的相等得到参数的表达式，二是通过辅助

角公式统一函数名称进一步求出范围.

15．(4,2)

【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形，

由题中角度关系可得出|ON|4|OA|4,|OM|2|OB|2；然后由向量加法的平行四边形法则得出

OCONOMxOAyOB，则可得出x4,y2，进而得出答案x,y4,2.

【详解】

答案第11页（共19页）

如图所示，以OC为对角线作平行四边形，则有MON120，MOC90，

MCONOC30，所以在Rt△MOC中，由|OC|23，得出OMOCtan302，

ONMC2OM4；由向量加法的平行四边形法则可得OCONOM，又因OCxOAyOB，得出

ONxOA，OMyOB，x0,y0，则有|ON|x|OA|，|OM|y|OB|，则由以上等式可解的x4,y2，

所以x,y4,2.

故答案为：4,2.

【点睛】本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的

题.

16．8

【分析】过点C作向量OA,OB的平行线与它们的延长线分别交于D,E两点，得到四边形ODCE平行四边

形，结合平面向量的基本定理，即可求解。

【详解】如图所示，过点C作向量OA,OB的平行线与它们的延长线分别交于D,E两点，

所以四边形ODCE平行四边形，则OCODOE，

因为向量OC与OA和OB的夹角分别为30和90，

即BOC90,AOC30,则OCD90,OCE30,

OC

在直角OCD中，|OC|23，AOC30，所以|OD|4，

cos30

3

在直角ΔOCE中，|OC|23，OCE30，所以|OE|OCtan30232，

3

又由|OA||OB|1，可得OC4OA2OB，

又因为OCOAOB(,R)，所以4,2，

所以28．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算和向量的运算法则的应用，其中解答

中熟记向量的线性运算法则，合理利用平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以

及推理与运算能力．

答案第12页（共19页）

5

17．1,

3

【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出Px,y，求出三个向量

xyxy222

的坐标，用P的坐标表m，n，则mn，根据直线b0与x2y2有交点求出

62625

范围．

【详解】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A0,0，D0,2，

C2,2，B6,0如图所示：

210

则直线BD方程为x3y60，点C到BD的距离d

105

222

所以以C为圆心且与BD相切的圆方程为x2y2

5

设Px,y则APx,y，AD0,2，AB6,0

又APmADnAB(m,nR)

xy

所以x,y6n,2m，则x6n,y2m，所以n,m

62

xy

所以mn

62

222

因为P在圆上，所以x2y2

5

xy222

设直线b0与x2y2有交点

625

22

b

2

xy62

则圆心C2,2到b0的距离为22

62115

62

5xy5

解得1b，则1

3623

5

所以1mn