人教版数学九年级上册 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 学案 无答案

第二十五章一元二次方程25.2.4一元二次方程根与系数的关系知识点一一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程的两个根是，则有：x1+x2＝-ba，x1•x2＝ca.特别地，如果方程的两个根为，则有x1+x2【补充说明】1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下：即学即练1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____．2．（2026·江苏南京·一模）方程的两个根为、，若，则的值为______．3．（2026·河北廊坊·一模）若方程的两个根为和，则______．4．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______．题型01不解方程，求一元二次方程的两根和/积典｜例｜精｜析1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（

）A． B． C．2 D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（

）．A． B．C． D．2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（

）A．12 B． C．4 D．3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型02已知两数的和与积，求这两个数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，有实数根且两根之和为2的（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（

）A． B． C．7 D．54．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（

）A． B． C． D．题型03不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（

）A．2； B．1； C．； D．2；12．（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________．3．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________．题型04不解方程，判断一元二次方程两根情况典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（

）A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定变｜式｜巩｜固1．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．两根互为相反数C．有两个相等的实数根 D．两根之和为42．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（

）A．， B．， C．， D．，3．（四题型应用一元二次方程的根与系数的关系及求值）不解方程，判断方程两根的符号．题型05利用韦达定理求含两根的代数式的值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（

）A．7 B． C． D．3变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________．3．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值．(1)(2)4．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：(1)；(2)．题型06根据根的正负性，判断参数范围使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元二次方程有两个正实数根，则k的取值范围为（）A．且 B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是()A． B． C． D．2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______．4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围．题型07利用韦达定理构造一元二次方程韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根.典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是(

)A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知、是方程的两根，则和的值为（

）A．1，6 B．1， C．， D．，62．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（

）A．6 B．8 C．7 D．10题型08韦达定理与判别式综合应用典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程的两实数根为满足，求k的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值．3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根；(2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值．题型09已知一元二次方程两根满足的关系，求参数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(

)．A． B． C．或 D．或2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________．3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________．4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则______．题型10韦达定理与几何问题综合典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知菱形的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．14变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，、的长是方程的两根，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）【综合与实践】七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下：配方的过程（如图①）（如图②、③）（如图④）（如图⑤）割、拼、补的过程【初步应用】（1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________；【巩固应用】（2）由图⑥方程配方可得___________；【综合应用】（3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值．3．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m取最小整数，求此时方程的两个根；(3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．题型11新定义问题典｜例｜精｜析1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题：(1)方程的倒方程是．(2)若是的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，；材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根．请根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数、满足、，且，求的值．(2)已知实数、满足、，且，求的值．(3)已知实数、、满足