福州市重点中学2025届高三年级下册期摸底考试数学试题试卷

福州市重点中学2025届高三下期摸底考试数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知加wR,复数Z=l+3i,z2=m+2ir且为实数，则〃?=（）

22

A.----B.-C.3D.-3

33

2.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为后的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

2>/3

D.2G

亍

3.下列命题为真命题的个数是（）（其中万，。为无理数）

323

①五,二；(2)ln^<—；(3)ln3<-.

25e

A.0B.1C.2D.3

2

4.设i为虚数单位，则复数z=—在复平面内对应的点位于（)

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知复数z满足i.z=3+2i3是虚数单位），（）

A.2+3;B.2-3/C.-2+3/D.-2-3/

6.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其中

支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

A.100B.1000C.90D.90

7.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若邑=3,S4=1O,则S°=（）

A.21C.11D.12

(x-2)(x-e，)+3,(xNIn2)

8.已知函数/*）=，当时，/（X）的取值范围为（-8,e+2],则实数m的

3—2x,(x<In2)

取值范围是（）

\—e

B.(-oo,l]C.—,1D.[In2,1]

2

9.已知斜率为左的直线，与抛物线C:）尸=4工交于A,5两点，线段A5的中点为M（l,6）（加＞0）,则斜率〃的取

值范围是（）

A.(^o,l)B.(-co,l]C.(l,+oo)D.[l,+oo)

10.已知〃=5；〃=log«氐c=2,则。也。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

11.tan570=()

A.&B..立cG"

33

12.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是

().

（俯视图）

A.2瓜B.4C.2石D.20

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

21

13.若x>0,y>0,且一+—=1,则x+2y的最小值是____.

14.点尸是△ABC所在平面内一点且PB+PC二AP,在△ABC内任取一点，则此点取自APBC内的概率是

15.曲线y=e'（/+2）在点（0,2）处的切线方程为.

2

16.在平面直角坐标系xQy中，双曲线上-/二]的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为.

4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知点P（O,1）,直线y=x+/（f<0）与抛物线交于不同两点A、B,直线玄、依与抛物线

的另一交点分别为两点C、。，连接CO,点尸关于直线的对称点为点Q,连接A。、BQ.

（2）若AQA8的面积S21—f,求，的取值范围.

18.（12分）如图，四棱锥。一43CD中，侧面为等腰直角三角形，4CJ■平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=>[^.

p

（D求证：P4J_平面P8C；

（2）求直线PC与平面以。所成的角的正弦值.

19.（12分）已知等差数列｛q｝满足%=7,火+%=26.

（1）求等差数列｛4｝的通项公式；

（2）设％一」一"£N'求数列｛%｝的前〃项和

20.（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生

物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从4、4、。三块试验田中各随机抽

取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：

A组10111213141516

B组12131415161718

C组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A、A、C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，A组选出的植株记为

乙，。组选出的植株记为丙.

（1）求丙的高度小于15厘米的概率；

（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（3）表格中所有数据的平均数记为〃（）.从A、B、。三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次

是14、16、15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为小，试比较M）和小的

大小.（结论不要求证明）

21.（12分）选修4・5：不等式选讲

已知函数f（x）=logz（|x+l|+|x-2|-m）.

（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；

（2）若关于x的不等式f（x）>2的解集是R,求m的取值范围.

Inv

22.（10分）已知函数/（x）=—.

X

（1）求函数/（戈）的极值；

（II）若〃7>〃>0,且mn=nm，求证：〃2〃>e~.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

把司=m-2,和4=1+3/・代入马再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值.

【题目详解】

2

因为Z]w=（1+3。（〃?-2。=（加+6）+（3加一2），为实数，所以3m一2=0,解得

【题目点拨】

本题考查复数的概念，考查运算求解能力.

2、B

【解题分析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【题目详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=[X2XGX4=4G.

2

故选：B.

【题目点拨】

本题考杳三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

3、C

【解题分析】

,、2

对于①中，根据指数幕的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，(x)=lnx-

利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到了(乃)>/(e),即可判定是错误的；对于③中，构造新函数

/(x)=dnx-x,x>0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到了(3)<0,即可判定是正确的.

【题目详解】

由题意，对于①中，由(&)2=%(m=3=2.25,可得e>2.25,根据不等式的性质，可得成立，所以是正

242

确的；

21

对于②中，设函数/(x)=lnx-Q,x>0,则/(力二一>0,所以函数为单调递增函数，

DX

因为乃>«,贝iJ/S)>/(e)

2?I2

又由===所以即In4>屋所以②不正确；

对于③中，设函数/(r)=elnx-x,x>0,则/(工)=£-1=

当x£(0,e)时，r(x)>0,函数/(“单调递增，

当xe(e,+8)时，/'(x)〈0,函数/(x)单调递减，

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为/(e)=elne-e=0,

3

所以/(3)=eln3-3<0,即0n3<3,即皿3<二，所以是正确的.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求

得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

4、A

【解题分析】

利用复数的除法运算化简Z,求得Z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.

【题目详解】

2==

T~(I_/)(IL)=1+z,•.对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限•

故选：A.

【题目点拨】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

5、A

【解题分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【题目详解】

Mrfa•0,殂3+2/（3+2/）（-/）

解：由，,Z=3+22,得2=----=-----：---=2-3/,

I*-I*2

z=2+3/•

故选A.

【题目点拨】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

6、A

【解题分析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40）的同学的频率，再结合支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，即得解

【题目详解】

由题意，支出在120,40）（单位：元）的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在120,40）的同学的频率为

34

（0.01+0.024）x10=0.34,:.n=—=100.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

7、A

【解题分析】

由题意知邑,54-5,2，$6-54成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出&的值.

【题目详解】

解：由｛（｝为等差数列，可知S2，S4-S2，S6-S4也成等差数列，

所以2（S4—S2）=S2+S6—S,,即2X（10—3）=3+S6—10,解得SG=21.

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

8、C

【解题分析】

求导分析函数在x21n2时的单调性、极值，可得x21n2时，/(x)满足题意，再在x<ln2时，求解/(x)Ke+2的

x的范围，综合可得结果.

【题目详解】

当xNln2时,/(x)二—(x—l)(e<2),

令尸(力>0,则In2vxv1；令(力<0,则%>1,

・・・函数/(X)在(ln2,l)单调递增，在(I,”)单调递减.

，函数/(月在r=1处取得极大值为/⑴=e+2,

・・・xNln2时,/“)的取值范围为(y,«+2],

***ln2<in<1

又当x<ln2时，令/'(/)=3-2x4e-2,则即一^-Wxvln2,

1-e..

:.----<m<Ini

2

1—e

综上所述，〃？的取值范围为—,1.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

9、C

【解题分析】

设A(R,y),8(七，乃)，设直线/的方程为：y=kx+bf与抛物线方程联立，由A>。得心<1,利用韦达定理结

合已知条件得人=三2，m=',代入上式即可求出k的取值范围.

【题目详解】

设直线/的方程为：y=k.x+b内，％),

f4B(X2,y2),

y=kx+b--、

联立方程J\’,消去y得：//+（2幼一4»+从=0,

y~=4x

A△=加一4>一软2/>0,

；.kb〈l,

_4-2kbb-

且X|4~Xj—~2,X]/=TT

4

y+K=z（x+X2）+2/J=-,

K

线段45的中点为(m>0),

4一2他「4c

N+&=公=2,y,+y2=-=2mf

,2-k22

/.b=------,m=—

kkf

m>Of

:.k>Ot

2

把〃=9-k代入奶<1,得2-公<1,

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

10、A

【解题分析】

根据指数函数的单调性，可得4=5：〉1，再利用对数函数的单调性，将"C与1,；对比，即可求出结论.

【题目详解】

1।

由题知a=5^>5°=1,1>Z?=log4>/5>log42=—>

c=Iog52<log575=,则

故选:A.

【题目点拨】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

11、A

【解题分析】

直接利用诱导公式化简求解即可.

【题目详解】

tan57()0=tan(360°+210°)=ta/t2W=tan(180°+30°)=/^/i30°=—

3

故选：A.

【题目点拨】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

12、A

【解题分析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条梭长即可.

【题目详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且AD=AB=2,BC=4,

24,平面A3CO,且PA=2,

：•PB=d*+*=2&，PD=A/22+22=2>/2»CD=，PC=y/P#+AC?=，4+2。=2&，

・••这个四棱锥中最长棱的长度是2#.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8

【解题分析】

利用1的代换，将x+2y写成（x+2y）2+'],然后根据基本不等式求解最小值.

【题目详解】

/4Vx[x=4

因为x+2），=（x+2），）一+―=4+^-+->8（x=2）即1取等号），

[xy）xy[y=2

所以最小值为8.

【题目点拨】

ab

已知一+一二。，求解〃町，（。、b、c、〃人〃>0）的最小值的处理方法：利用

—+—=1，得至卜〃工+犯，=（巴+2）（〃1V十〃y）,展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.

excyexcy

14.-

3

【解题分析】

SJ

设。是8C中点，根据已知条件判断出AR。三点共线且尸是线段AO靠近。的三等分点，由此求得^:二.，

3ABC3

结合几何概型求得点取自三角形PBC的概率.

【题目详解】

设。是8C中点，因为尸。+?d=4P，所以2P0=4P，所以A、P、。三点共线且点P是线段AO靠近。的三等

分点，

S11

故不以二三，所以此点取自aPBC内的概率是；.

S.ABC33

故答案为：7

3

【题目点拨】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考杳几何概型概率计算，属于基础题.

15、y=2x+2

【解题分析】

对函数求导，得出在（0,2）处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【题目详解】

令/（K）=e'（*2+2）,/'（制=已'（/+2工+2）,所以/'（0）=2,又：/（0）=2,.•.所求切线方程为y—2=2x,即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2,

【题目点拨】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

24

16、一

13

【解题分析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.

【题目详解】

22

解：双曲线C：双曲线士-二=1中〃=2,b=3,c=岳,

49

2

则双曲线尤？土-V匕=1的一条准线方程为x=—=74=,

49cV13

双曲线的渐近线方程为：y=±|x,

可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标（木，竟），（卡，-奈），

14c624

则三角形的面积为5X而><2'芯=百.

故答案为：—

【题目点拨】

本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）.

【解题分析】

(1)设点4件,X、8年,为，求出直线小、心的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利

用直线43、CD的斜率相等证明出AB〃CO；

(2)设点尸到直线A3、CO的距离分别为4、4，求出4,利用相似得出右，可得出AQA8的边48上的高，

并利用弦长公式计算出|A5|,即可得出S关于，的表达式，结合不等式SN1-1可解出实数/的取值范围.

【题目详解】

(2\

(1)设点AV~,y[B卷，H，则Z幺=上一，

IZ712)州

直线A4的方程为：A=

2(y-1)2()一)'

一二〉,「),芳

由.2(^-1)-2(y,-l),消去X并整理得产=0,

y2=2x

2

♦,•凡=」7

由韦达定理可知，)i)'A=>c>?l=

X-ly一1

9

%

代入直线AP的方程，得&二解得c

2(4)2'、2(y-l)2'y-17

同理，可得。力

必__

・k二乃一1.2=，_=i

父犬dd，x+必，

2()"2(y.-l)2为7M-1

k.2.2_2(x-l)_]

y+弘=2,二必=2—y代入得(。2-y।yy-2+y2y-2

(2-y)-ly,-l

因此，AB//CD,

1-r

(2)设点。到直线48、CO的距离分别为《、4，则4=至'

-4\PA\\PB\d；\PA\|PB|

由⑴知./co,•.为=两"两一•3"国•两'

•」网=4+成|PC|=JI+Z1%,二禺=

/.\2

\PB\/0与

同理’得|PD|*'•..*=[(yT)(%T)了心%-(y+U)+l广

由1-f整理得)'2-2)，+2/=°，由韦达定理得y+%=2，)\y2=2tf

y~=2x

，包=(2"Ip'得〃,2_=河J方，

d2

设点Q到直线AB的高为〃，则h=|4-2&|=可A)R+",

•・♦=ViTF•J(y+必)-4y必=2夜•，

.,.S——AB\,/?=-x2\/2,Jl—2/x—F=------12f+11=/•|2r+21—f

2I2,2(1-2。IIII，

vr<0,解得d],因此，实数，的取值范围是1—8,一|.

【题目点拨】

本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线

的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.

18、(1)见解析(2)旦

9

【解题分析】

(1)根据4CJ■平面。48,利用线面垂直的定义可得3C_L%,再由Q4_LP3,根据线面垂直的判定定理即可证

出.

(2)取A3的中点0,连接。P,。。，以。为坐标原点，。。,。8,。。分别为克,，2正半轴建立空间直角坐标系

。一与乞,求出平面24。的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【题目详解】

(1)因为8C_L平面PAB,PAu平面PAB,

所以4C_LK4

由为等腰直角三角形，

所以

又PBcBC=B,故H4_L平面Q4B.

（2）取4?的中点0,连接。只0。，

因为PA=P8,AO=BD,

所以PO_LA8,DO^AB,

因为ACJ_平面PAB,

所以PAB1平面ABCD,

所以P0_L平面ABCD,P010D,

如图，以。为坐标原点，。。,。氏。2分别为x，yz正半轴建立空间直角坐标系。一g2,

则40一一2°一1,DO=y/AD--AO2=2,

又BC_LAB,OOJ.PA,

所以OD//BC且。。=BC,于是

P（0,0,l）,A（0,-l,0）,D（2,0,0）,C（2,l,0）

PC=（2,l,—l）,AP=（0,U）,AD=（2,l,0）,

设平面尸人。的法向量为〃=（苍y,z）,则

n-AP=y+z=0

n-AD=2x+y=0

令x=1得平面PAD的一个法向量«=（1,-2,2）

设直线PC与平面24。所成的角为a,

//\PC・n2展

则sina=cos（PC,n）=--------=「=——

火"''PC-nV6.39

【题目点拨】

本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.

n

19、⑴%=2〃+1；⑵小

6〃+9

【解题分析】

试题分析：（1）设等差数列｛%｝满的首项为4,公差为代入两等式可解，,d。

（2）由⑴“2的,代入得的号（击一熹）'所以通过裂项求和可求得小

6+2d=7%=3

试题解析：（1）设等差数列的公差为d,则由题意可得，rs,“，解得

2q+\0d=26d=2

所以白〃=3+2(〃-1)=2〃+1.

1i

(2)因为c”—一(、»

(2〃+1)(2〃+3)

所以人忌rrU

212〃+l2/2+37

1111J_______

所以-----+-----同5-2/?+3厂6〃+9

35572n+\2n+3>

210

20、(1)-；(2)—；(3)从)v.

749

【解题分析】

设事件4为“甲是A组的第i株植物”，事件B,为“乙是8组的第i株植物”，事件G为“丙是C组的第i株植物“，，二1、

2、…、7,可得出夕（4）=P（8j=尸（G）=;.

（1）设事件。为“丙的高度小于15厘米%可得。=6=。2,且G、•互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果;

(2)设事件£为“甲的高度大于乙的高度%列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求

事件的概率；

(3)根据题意直接判断从)和从的大小即可.

【题目详解】

设事件4为“甲是A组的第i株植物”，事件用为“乙是3组的第i株植物”，事件G为“丙是c组的第i株植物“，，=1、

2、…、7.

由题意可知P(4)=p(g)=p(G)=；，，=1、2、・••、7.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米”，由题意知。

又G与c?互斥，所以事件。的概率P(D)=P(。〜G)=P(G)+P(G)=I；

(2)设事件上为“甲的高度大于乙的高度”.

由题意知£=A4uAMouA1B]uA5B2kJ\B2A7B2—483uA7B4.

所以事件E的概率。(七)=0(4耳)+夕(44)+夕(44)+。(44)+夕(4与)

+P(A4)+0(4&)+p(A&)+网4&)+P(484)

=IOP(A4BI)=IOP(A)P(BI)=^;

(3)40VM.

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等

题.

21、(1)(—co,-3)J(4,+00),(2)(-00,-1]

【解题分析】

试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出

|x+l|+|x-2|>|(x+l)-(x-2)|=3,不等式|x+l|+