广东省深圳市罗湖区多校联考2027届高三上学期一模数学试卷（含答案）

广东省深圳市罗湖区多校联考2026-2027学年第一学期学业质量检测高三数学试题一、单选题1．样本数据2、3、4、4、7的平均数为（

）A．1.2 B．2.8 C．4 D．72．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．已知平面向量，，且，则（

）A．2 B． C． D．5．2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（

）A．4 B．6 C．8 D．126．已知，，则（

）A． B． C． D．7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（

）A．0 B． C． D．二、多选题9．已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为3B．直线恒过定点C．当时，直线截圆所得弦长为6D．存在，使得直线与圆相离10．设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（

）A． B．C．当时， D．11．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．直线与直线所成角的正切值为B．存在点，使得C．三棱锥的体积的最大值为D．若，则的轨迹长度为三、填空题12．已知函数，则在点处的瞬时变化率为__________．13．已知数列满足，（），则__________．14．一个袋中有大小、质地完全相同的8个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8．现从袋中不放回地随机依次取出3个球，记第次取出的球的编号为（）．已知为偶数，则的概率为__________．四、解答题15．某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示．喜欢不喜欢合计男生203050女生361450合计5644100(1)依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关；(2)从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．附：，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87916．在中，为边上一点，，，，为钝角．(1)求的值；(2)若内切圆的半径为，求的面积．17．如图，在四棱锥中，，底面为矩形，，，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知函数（）．(1)讨论函数的单调性；(2)若．①当时，求证曲线是轴对称图形；②当时，试探究曲线与曲线的公切线的条数．19．基本不等式可以推广到一般情形：对于个正数，，…，，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在实数，使得对任意恒成立；②为单调数列，则称数列具有性质．(1)若，求数列的最小项；(2)记，记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由；(3)若，求证：数列具有性质．参考答案1．C2．A3．D4．D5．B6．A7．D8．B9．ABC10．ABD11．ABD12．13．10014．15．(1)学生是否喜欢数学课与性别有关(2)的分布列为：012的数学期望为．16．（1），，，在中，由正弦定理，得，因为为钝角，所以，于是.（2）因为，所以，在中，由正弦定理得，设，在中，，，由余弦定理得，故，的面积，又因为，所以，整理可得，因为，所以，即，于是，所以．17．(1)取与的中点，，连接，，，因为，于是，又因为，，，平面，所以平面，结合可得平面，又平面，所以，所以，又，，所以，，而，，所以，从而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，故，，，设平面与平面的法向量分别为和，则由得到，令得到，由得到，令得到，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．(1)（1）因为，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，时，；时，；故在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)①当时，，所以，，所以的图象关于直线对称，故曲线是轴对称图形．②当时，，设公切线与相切于，与相切于因为，，故在点处的切线方程为，即在点处的切线方程为，即，所以，消去得，因为时，无解，故，因此原方程可化为，令，方程变形为，取（），，当，，单调递减；当，，单调递增；当，，单调递减；而，当时，，时，，当时，，时，，结合各区间端点处的极限值与单调性可知，在上有且仅有个零点；在上，有个零点；在上，有个零点，一共个零点．所以方程一共有个根，即与一共有条公切线．19．(1)（1）由三元形式的基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以数列的最小项为；(2)因为，所以，于是，所以取，有对任意恒成立，满足性质①；