2026年人教版高一数学第七十五章数列与函数关系练习题

2026年人教版高一数学第七十五章数列与函数关系练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n为（）a.a_n=2n+1b.a_n=3n-2c.a_n=4n-5d.a_n=5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式为a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1。选项b错误因3n-2在n=3时等于7但n=7时不等于15；选项c错误因4n-5在n=3时等于7但n=7时不等于15；选项d错误因5n-8在n=3时等于7但n=7时不等于15。正确答案为a。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的第5项b_5的值为（）a.30b.31c.32d.33解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时6n-5=1符合，故通项公式为b_n=6n-5。b_5=6×5-5=25。选项a、b、c均错误，正确答案为d。3.函数f(x)=log_2(x+1)与数列{a_n}的通项a_n=2^n-1在同一坐标系下的图像关系为（）a.函数图像在数列图像上方b.函数图像在数列图像下方c.两图像完全重合d.两图像无交点解析：令x+1=2^n-1，得x=2^n-2。此时f(x)=log_2(2^n-1)≠2^n-1，故两图像不重合。观察x→+∞时f(x)≈2^n-1，x→-1^+时f(x)→-∞而数列图像在x=-1处无定义。两图像存在交点（1,1）和（3,3），故选项a、b、c错误，正确答案为d。4.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）a.55b.56c.57d.58解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，...，c_{n+1}=1+2+4+...+2(n-1)=1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。验证n=1时n^2-n+1=1符合，故通项公式为c_n=n^2-n+1。c_10=10^2-10+1=91。选项a、b、c均错误，正确答案为d。5.函数y=2^x与等比数列{a_n}的通项a_n=3×2^{n-1}的图像关系为（）a.函数图像在数列图像上方b.函数图像在数列图像下方c.两图像完全重合d.两图像无交点解析：令2^x=3×2^{n-1}，得x=n-1+log_2(3)。此时f(x)=2^x≠3×2^{n-1}，故两图像不重合。观察x→+∞时f(x)≈3×2^{n-1}，x→-∞时f(x)→0而数列图像在x→-∞时趋近于0。两图像存在交点（log_2(3)+1,3×2^0=3），故选项a、b、c错误，正确答案为d。6.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项d_4的值为（）a.10b.11c.12d.13解析：由数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=S_1=1。当n≥2时d_n=n(n+1)/2-[（n-1）n/2+1]=2n。验证n=1时2n=2≠1，故通项公式为d_n=2n（n≥2）。d_4=2×4=8。选项a、b、c均错误，正确答案为d。7.函数f(x)=x^2与等差数列{e_n}的通项e_n=2n-1的图像关系为（）a.函数图像在数列图像上方b.函数图像在数列图像下方c.两图像完全重合d.两图像无交点解析：令x^2=2n-1，得x=±√(2n-1)。此时f(x)=x^2≠2n-1，故两图像不重合。观察x→+∞时f(x)≈2n-1，x→-∞时f(x)≈2n-1。两图像存在交点（1,1）和（-1,1），故选项a、b、c错误，正确答案为d。8.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+3n，则f_6的值为（）a.55b.56c.57d.58解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+3n，得f_2=f_1+3=4，f_3=f_2+6=10，...，f_{n+1}=1+3(1+2+...+n)=1+3n(n+1)/2=3n^2+3n+1。验证n=1时3n^2+3n+1=4≠1，故通项公式为f_n=3n^2+3n-2。f_6=3×6^2+3×6-2=110。选项a、b、c均错误，正确答案为d。9.函数y=3^x与等比数列{g_n}的通项g_n=2×3^{n-1}的图像关系为（）a.函数图像在数列图像上方b.函数图像在数列图像下方c.两图像完全重合d.两图像无交点解析：令3^x=2×3^{n-1}，得x=n-1+log_3(2)。此时f(x)=3^x≠2×3^{n-1}，故两图像不重合。观察x→+∞时f(x)≈2×3^{n-1}，x→-∞时f(x)→0而数列图像在x→-∞时趋近于0。两图像存在交点（log_3(2)+1,2×3^0=2），故选项a、b、c错误，正确答案为d。10.已知数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第3项h_3的值为（）a.8b.9c.10d.11解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=T_1=2。当n≥2时h_n=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时2n=2≠2，故通项公式为h_n=2n（n≥2）。h_3=2×3=6。选项a、b、c均错误，正确答案为d。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_5=11，a_10=25，则该数列的公差d为______。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=11，a_10=25得5d=14，即d=2.8。参考答案：2.82.数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第4项b_4的值为______。解：b_4=S_4-S_3=16-8=8。参考答案：83.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q为______。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得q^2=9，即q=3。参考答案：34.函数f(x)=2^x与等差数列{d_n}的通项d_n=3n-1的图像交点的横坐标为______。解：令2^x=3n-1，当n=1时x=2，当n=2时x≈2.58，故交点横坐标在2与2.58之间。参考答案：25.数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_5的值为______。解：e_2=e_1+1=2，e_3=e_2+2=4，e_4=e_3+3=7，e_5=e_4+4=11。参考答案：116.函数y=3^x与等比数列{f_n}的通项f_n=4×3^{n-1}的图像交点的纵坐标为______。解：令3^x=4×3^{n-1}，当n=1时x=2，当n=2时x≈2.19，故交点纵坐标在4与4×3^1=12之间。参考答案：47.已知数列{g_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第2项g_2的值为______。解：g_2=T_2-T_1=6-2=4。参考答案：48.等差数列{h_n}中，若a_1=5，公差d=-2，则该数列的前10项和S_10为______。解：S_10=10×5+(10×9/2)×(-2)=50-90=-40。参考答案：-409.数列{a_n}满足a_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项a_4的值为______。解：a_4=4×5/2=10。参考答案：1010.函数f(x)=log_2(x+1)与等比数列{b_n}的通项b_n=2^n的图像交点的横坐标为______。解：令log_2(x+1)=2^n，当n=1时x=7，当n=2时x=15，故交点横坐标在7与15之间。参考答案：7三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则该数列的公差为4。（×）解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，代入a_3=7，a_5=11得2d=4，即d=2。错误。2.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列是等差数列。（√）解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1，是等差数列。正确。3.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_3=12，则该数列的公比为2。（√）解：由等比数列性质c_3=c_2q，代入c_2=6，c_3=12得q=2。正确。4.函数f(x)=2^x与等差数列{d_n}的通项d_n=3n-1的图像没有交点。（×）解：令2^x=3n-1，当n=1时x=2，当n=2时x≈2.58，存在交点。错误。5.数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则该数列是等比数列。（×）解：e_n=n(n+1)/2，相邻项之比不为常数。错误。6.函数y=3^x与等比数列{f_n}的通项f_n=4×3^{n-1}的图像交点的纵坐标为4。（√）解：令3^x=4×3^{n-1}，当n=1时x=2，当n=2时x≈2.19，纵坐标在4与12之间。正确。7.已知数列{g_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第3项g_3的值为6。（√）解：g_3=T_3-T_2=12-6=6。正确。8.等差数列{h_n}中，若a_1=5，公差d=-2，则该数列的前10项和S_10为-40。（√）解：S_10=10×5+(10×9/2)×(-2)=-40。正确。9.数列{a_n}满足a_n=n(n+1)/2，则该数列的第5项a_5的值为15。（√）解：a_5=5×6/2=15。正确。10.函数f(x)=log_2(x+1)与等比数列{b_n}的通项b_n=2^n的图像交点的横坐标为7。（√）解：令log_2(x+1)=2^n，当n=1时x=7，当n=2时x=15，横坐标在7与15之间。正确。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，求该数列的通项公式a_n。解：设公差为d，由a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9得4d=6，即d=1.5。通项公式a_n=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5。2.数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的第3项b_3。解：b_3=S_3-S_2=(2×3^2-3×3)-(2×2^2-3×2)=9-6=3。3.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得q^2=9，即q=3。4.函数f(x)=2^x与等差数列{d_n}的通项d_n=3n-1的图像交点的横坐标x满足什么条件？解：令2^x=3n-1，当n=1时x=2，当n=2时x≈2.58，故交点的横坐标x在2与2.58之间。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则{a_n}是等差数列，a_1=1000，d=200。a_5=a_1+4d=1000+800=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设2020年为第1年，则2025年为第6年。人口数量P=100×(1+5%)^6≈134.01万。3.某人投资一种基金，第1年收益为1万元，以后每年比前一年多收益0.5万元，求第4年的收益。解：设第n年的收益为b_n，则{b_n}是等差数列，b_1=1，d=0.5。b_4=b_1+3d=1+1.5=2.5万元。4.某林场种植树木，第1年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第6年种植的树木数量。解：设第n年的种植数量为c_n，则{c_n}是等差数列，c_1=100，d=50。c_6=c_1+5d=100+250=350棵。【标准答案及解析】一、单选题1.a2.b3.d4.a5.d6.d7.d8.d9.d10.d二、填空题1.2.82.83.34.25.116.47.68.-409.1010.7三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.