高考数学（理）新增分大一轮人教版讲义第七章不等式推理与证明74

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

最新考纲考情考向分析

以线性、非线性目标函数最值的求法为主，

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

兼顾由最优解（可行域）情况确定参数的范

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面

围，以及简单线性规划问题的实际应用，

区域表示二元一次不等式组.加强转化与化归和数形结合思想的应用意

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线

识.在高考中以选择、填空题的形式进行考

性规划问题，并能加以解决.

查，难度为中低档.

L二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式表示区域

取+C0直线41+⑤，+。=0某一侧的所不包括边界直线

心+8y+C20有点组成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公幺逊金

2.线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件由变量x,y组成的不等式（组）

线性约束条件由x,y的二&不等式（或方程）纽成的不等式组

目标函数要求最大值或最小佰的函数

线性目标函数关于x,y的二^解折式

可行解满足线性约束条件的解建，P）

可行域所有可行解组成的复合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【概念方法微思考】

1.不等式x20表示的平面区域是什么？

提示不等式x20表示的区域是y轴的右侧（包括y轴）.

2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？

提示不一定.最优解是可行解中的一个或多个.

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一是唯一.

题组一思考辨析

1,判断下列结论是否正确（请在括号中打"或"X”）

（1）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.（J）

（2）不等式心■+为，+。0表示的平面区域一定在直线4t+孙+C=0的上方.（X）

（3）点5,川），。2,心）在直线4Y+8J，+C=0同侧的充要条件是（4；i+8“+O（4t2+母2+。>0,

异侧的充要条件是（4vi+3yi+C）（4x2+取2+0<0.（J）

（4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式町Y0表示.（V）

（5）最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.（7）

（6）目标函数2=外+/纱3W0）中，z的几何意义是直线at+0y-z=0在y轴上的截距.（X）

题组二教材改编

2.不等式组+62表示的平面区域是（）

k—y+2<0

答案B

解析x—3y+620表示直线J—3y+6=0及其右下方部分，x—y+2<0表示直线x—y+2=0

的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.

3.投资生产/产品时.，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米：投资生产8产

品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地10（）平方米.现某单位可使用资金1400万元，

场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为.（用x,歹分别表示生

产力，4产品的吨数，x和），的单位是百吨）

200.r+300y^l400,

答案200x+100yW900,

心0,

y^O

解析用表格列出各数据

AB总效

产品吨数Xy

资金200.x-300v1409

场地200A-100y900

所以不难看出，x30,y^O,2OO.v+3OOy^l400,200.v+100)^900.

题组三易错自纠

4.下列各点中，不在x+y-lW0表示的平面区域内的是()

A.(0,0)B.(-l,l)C.(~i,3)D.(2,-3)

答案C

解析把各点的坐标代入可得［―1,3)不适合，故选C.

l2y-2W0,

5.(2018•全国I)若x,y满足约束条件T-y+i^o,则z=3x+2y的最大值为.

vWO,

答案6

解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.

由z=3x+2y,得》=—3+；.

作直线A)：y=一｝，平移直线A)，当直线卜=一3+；过点(2,0)时，Z取最大值，Zmax=3X2

+2X0=6.

x-y十510,

6.已知x,y满足x+y20,若使得z=at+y取最大值的点（x,刃有无数个，则”的值

xW3,

为.

答案一1

解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，当直线z=ax+y和直线

力8重合时，z取得最大值的点（x,y）有无数个，，一。=幻"=1,，a=-1.

题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点I不含参数的平面区域问题

3x—yWO,

例1在平面直角坐标系中，不等式组3y+220,表示的平面区域的面积是（）

v^O

A.3B.3C.2D.23

2

答案B

解析作出不等式组表示的平面区域是以点0（0,0）,8（—2,0）和41,3）为顶点的三角形区

域,如图所示的阴影部分（含边界），

由图知该平面区域的面积为〔X2X3=3,故选B.

2

命题点2含参数的平面区域问题

x—y^O,

例2若不等式组2X+PW2,表示的平面区域的形状是三角形，则〃的取值范围是

y20,

()

A。2,B.0<aW1

3

4

C.lWaJD.O<aSl或a》

33

答案D

x—y^O,

解析作出不等式组2X+)，W2,表示的平面区域（如图中阴影部分所示）.由图知，要使原

v^O

不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线/：工+），="在h/2之间（包含，2,不

包含公或八上方（包含团.

思维升华平而区城的形执问题主要有两种题型：

（1）确定平面区域的杉状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

（2）根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参

数进行必要的讨论.

x+y—2N0,

跟踪训练1（1）不等式组，xW4,表示的平面区域的形状为（）

A.等边三角形B.梯形

C.等腰直角三角形D.正方形

答案C

解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形（阴

影部分，含边界）.

xWO,

（2）已知由不等式组确定的平面区域。的面积为7,则4的值为（）

y-kxW2,

p-x—4W0

A.-3B.-lC.3D.l

答案B

xWO,

解析作出不等式组了20,所表示的平面区域，如图用影部分（含边界）所示，

y—x—4W0

可知该区域是等腰直角三角形且曲积为8.

由于直线y=H+2恒过点8（0,2）,且原点的坐标恒满足），一hW2,

当〃=0时，yW2,此时平面区域。的面积为6,

1»=2

由于6<7,由此可得KO.由‘

y-X-4=0,

f24A-2］

可得E\k—1k—IJ,

依题意应有1X2xl-l|=l,

2

解得人=-1或左=3（舍去），故选B.

题型二求目标函数的最值问题

命题点1求线性目标函数的最值

叶2），一520,

例3（2018・全国II）若满足约束条件x—2y+320,则z=x+y的最大值为.

X-5W0,

答案9

解析由不等式组画出可行域如图阴影部分（含边界）.目标函数、+），取得最大值㈡斜率为一1

的直线x+y=N（z看作常数）在y轴上的截距最大，

由图可得当直线x+y=z过点C时，z取得最大值.

X=5,

由得点C(5,4),

K-2y+3=0,

，Zmax=5+4=9.

命题点2求非线性目标函数的最值

L7+1W0,

例4已知实数x,V满足x+2y-8W0,则zu*；2的取值范围是-

"21

答案L'6.

x-y+lWO,

解析作出不等式组x+2y—8W0,表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三

在1

角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为8（1,2）,cl1,2］。（2,3）,?的几何

x+2

意义是可行域内任一点（X,y）与点（一2,0）连级的斜率，记尸（一2,0）,连接PC,由于直线

M的斜率为1直线0C的斜率为］由图可知2=?的取值范围是R6_.

36x+2

命题点3求参数值或取值范围

yN1,

例5（2018•鞍山模拟）已知实数x,y满足yWZt—I,如果目标函数z=x-y的最小值为

x+yW/〃，

—1,则实数加等于（）

A.7B.5C.4D.1

答案B

解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示（含边界），

联立直线方程1'可得交点坐标为

y=-x+/〃，

pn+12ni—A

23，3J,

由目标函数的几何意义可知目标函数在点力处取得最小值，

所以〃?+I_2〃L1=—],解得小=工

33

故选B.

思维升华常见的三类目标函数

（1）截距型：形如z=ax+by.

（2）距离型：彩如z=（x—a）2+（y—力产.

（3）斜率型：形如z=y-0

x-a

x—y^0,

跟踪训练2（1）（2019•辽阳适应性考试）若实数x,y满足约束条件++y+iNo,则z=2x

L3W0,

—y的最大值为（）

A.3B.6C.IOD.12

答案C

解析先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示（含边界），

将z=2x-y的最大值转化为直线j，=2x-z在y轴上截距的最小值.

当直线y=2x—z经过点/时，z最大，

又/（3,-4）,故z的最大值为10.

x+y>\,

（2）（2019•呼伦贝尔模拟）已知x,y满足〃?x-yWO,且z=3x—y的最大值为2,则实数〃?

3x-2y+220

的值为（）

I2

A.1BC.lD.2

33

答案D

解析由约束条件皿一yWO,作出可行域(图略)，

3x-2v+2>0

z=3x~y的最大值为2,

联立,“-2»+2—0，解得42,4),化目标函数z=3x-y为)，=3.LZ,

3x—y=2,

可知，直线mx—y=0必须过点力，

可得2加-4=0,

解得〃?=2.故选D.

x+yW2,

(3)(2019•海南五校模拟)已知实数x,尸满足不等式组—则(x—3)2+0,+2)2的最

田1,

小值为.

答案13

,v+yW2,

解析画出不等式组w_y2_2,表示的平面区域(图略)，

后1

易知。-3)2+&+2)2表示可行域内的点(X,田与(3,—2)两点间矩离的平方，通过数形结合可

知，当(x,刃为直线x+y=2与)，=1的交点(1,1)时，(工-3)2+。+2)2取得最小值，最小值为

13.

x-y+320,

1.设点(x,乎)满足约束条件x—5y—1W0,且x£Z,yWZ,则这样的点共有()

3.LJ，-3W0,

A.12个B.11个C.10个D.9个

答案A

x—y+3N0,

解析画出.—Sy—iwo,表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

3x+y—3<0

由图可知，满足x£Z,y£Z的(x,y)为(一4,-1),(-3,0),(-2,1),(-2,0),(-1,0),(-1,1),

(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(D,3),(1,0),共12个，故选A.

yW1,

2.若变量x,y满足约束条件x+y2o,则z=x—2y的最大值为()

x-y-2W0,

A.4B.3C.2D.l

答案B

解析方法一由约束条件可知可行域的边界分别为直线y=l,x+y=O,x—y—2=0,

则边界的交点分别为（一1,1）,31）,（1,-1）,

分别代入z=x-2y,

得对应的z分别为-3,1,3,

可得z的最大值为3,故选区

方法二作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界），

作出直线x-2j，=0并平移，

由图可知，当直线过点（1,一1）时，z取得最大值，

即Zmax=l-2X（-l）=3,故选B.

）Wx+1,

3.设约束条件x+5,贝p'+i的最大值为（）

Ix

后一、+2,

2

A.1B.lC.2D.1

2

答案D

解析作出可行域如图阴影部分所示（含边界），

则表示可行域内的点（x,y）和（0,—1）连线的斜率,

由图可知，可行域中的点C’

-1）连线的斜率最大，最大值为4,故选D.

x+y—2W0,

4.若不等式组.+2）,—2、0,表示的平面区域为三角形且其面积等于:，则的最

X-V+2/M^O

小值为（）

A.-2B.-5C.-3D.1

3

答案A

解析作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分含边界所示），

0—4,,2+2]

由图象.得4（1一州.1+加）,疝33〃''33”）C（2.0）.。（一2〃八0）.

S沙8C=SJ℃—S48DC=；℃（[>/—：皿）=

解得加=1或加=-3,由图象，得要使可行域存在，

则2ni>—1,即m>—।,即m=1,

2

(一241

即4(0,2),从3,3工C(2,0)；

由图象，得当直线z=3-y过点4(0,2)时，

z取得最小值为-2.故选A.

X—120,

5.设x,y满足约束条件x—2yW0,向量a=(2x,l),/>=(1,in—y),则满足■〃的实数

2x+yW4,

m的最小值为()

412口12.3八3

A.B.—rC.D.—

5522

答案B

解析由向量“=(2x,1),6=(1,m—y),aA.b,

得2x+"?—y=0,整理得—2x,

根据约束条件画出可行域，将求，〃的最小值转化为求y=2x+a在y轴上的截距的最小值，

当直线y=2x+m经过点4时，，〃最小，

由广广仇

2x+y=4,

解得力15‘5),

则实数机的最小值为一2义；+；=—?.故选B.

2x+y+320,

6.(2018•全国III)若变量x,y满足约束条件)一2丁+420,则z=x+)的最大值是

T—2W0,

答案3

解析画出可行域如图阴影部分所示，由z=x+>得)，=-3x+3z,作出直线)，=-3x,并平

移该直线，当直线尸=-3》+3二过点/(2,3)时，目标函数z=x+｝取得最大值为2+；X3=3.

x-y+2W0,

7.（2019・通辽检测）设实数x,y满足*一2》+620,则目标座数z=:的最小值为.

答案2

解析画出可行域，如图中阴影部分所示（不含y轴），则z=V表示可行域内的动点P（x,刃与

X

坐标原点0（09）的连线的斜率.所以结合图形易知，当动点。与点力重合时，目标函数z=N

X

‘x-y+2=0,

取得最小值.解方程组，-

X—2y+6=0,

得'—2，即力（2,4）,

y=4,

故Zmin=koA==2

2-0

l-y+220,

v+I

8.（2018•包头模拟）若x,y满足约束条件2x+y_3WO,贝P，的最小值为_________.

/v4-0

答案：

T—y+220,

解析画出x,y满足约束条件2X+），_3W0,的可行域如图阴影部分所示（含边界）.

y21

的几何意义为可行域内的动点P（x,），）与定点0（—2,—1）连线的斜率，

当尸位于力（一1,1）时，直线尸。的斜率最大,

此时Amax=1+/=2

-1+2

当尸位于8（1,1）时，直线PQ的斜率最小,

x—y^0,

的最

9.（2019•丹东模拟）设变量x,y满足约束条件,v+y22,则目标函数z=

l3x-y-6W0,

大值为

答案

解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示（含边界）,

要求解目标函数2=3+「的最大值，只需求解函数z'=2x+y的最小值，

结合函数z'=2x+y的几何意义可知，函数z'=2x+y在点C(l,l)处取得最小值z'min=2

+1=3,

则目标函数Z=的最大值为On；.

10.(2016•全国【)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A

需要甲材料kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品8所要甲材料kg,乙材料kg,

用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有

甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品小产品8的利润

之和的最大值为元.

答案216000

解析设生产力产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,

得线性约束条件为

T+JW150,

T+>W90,

5x+3yW600,

x20,x£N+,

v^O,yGN+,

目标函数z=2】OOx+900F.

作出可行域为图中的四边形，包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)

处取得最大值，Zmax=2100X60+900X100=216000(7C).

X-%+3W0,

11.变量X.y满足3x+5»-25(0,

x21.

(1)设2=歹，求N的最小值;

X

(2)设2=『+/+6.》一4)，+13,求z的最大值.

X-4F+3W0,

解由约束条件3x+5y-25W0,作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).

1,

口”T=。，解得”1,

由a

1

由解得

L4J，+3=0,

x—4j，十3=0,

由解得8(5,2).

3.r+5y-25=0,

⑴因为z4［：,

所以Z的值即是可行域中的点与原点。连线的斜率，观察图形可知Zmin=Ag=；.

(2)2=/+炉+6工-4广H3=(x+3)2+U，-2)2的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)的距离的

平方.结合图形可知，可行域上的点2到(一3,2)的距离最大，4M=(-3—5产+(2—2)2=8,

故z的最大值为64.

12.若x,y满足约束条件(_卜2—1,

匕一户2.

(1)求目标函数z=3-y+；的最值：

⑵若目标函数z=ax+2j，仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围.

解(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，

可求得4(3,4),仅0,1),0(1,0).

平移初始直线卜一y+；=0,当直线过4(3,4)时，z取最小值-2,过C(l、0)时，z取最大值I.

所以z的最大值为1,最小值为-2.

(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知一1<一；<2,

解得一4<a<2.

故a的取值范围是(一4,2).

x+y-2<0,

13.(2019•锦州质检)己知实数x,y满足不等式组位20,且z=2x—y的最大值是最

X0,

小值的2倍，则。等于()

35「6八4

AA.Bn.C.D.

4653

答案B

解析根据题中所绐的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分所示(含边界)：

作出直线/：y=2x,平移直线/,由图可知，

当直线经过点。时，直线在y轴上的截范最小，

此时z=2x—y取得最大值，

,x+v—2=0,一口

由可得0(1,1),

k=y,

所以z=2x-y的最大值是1；

当直线经过点8时，直线在y轴上的截距最大，

此时z=—y取得最小值，

,卜+)，-2=0