3 第三章 数据特征的描述（课件）-《管理统计学》同步教学（华南理工版）

管理统计学

[第四版]

第三章数据特征的描述

案例导入

某互联网公司人力资源部主管为了解本公司员工通勤情况，随机抽查20位员

工每日上下班平均时长（分钟）：

1208080501401009010080506090140808060507010080

通过以上抽样数据，请问本公司员工平均需要花费多长时间上下班？员工通

勤时长的分布情况如何？通过本章的学习，你将学会如何分析和描述数据，如何

从数据中掌握事件的动态发展。

学习目标

本章学习数据分布的集中趋势特征和离中趋势特征的描述方法。重点要掌握

众数、中位数、均值、标准差、变异系数和相关系数等指标的计算和应用问题。

3.1描述统计

3.1.1描述统计

描述统计的内容包括频数分布，但主要是关于集中趋势和离中趋势的描述问

题。

例如，BND医院为了制定一个收容计划，工作人员搜集了一个含有67个病人

被工作组收容的时间记录数据，该样本反映了病人被收容后1～185天内住院时长

的变化情况。

平均数：35.7天中位数：17天众数：1天

利用这些信息，可以提高制定收容计划的科学性。

u常见的频数分布曲线

（1）正态分布：如农作物的单位面积产量、零件的公差、纤维强度

（2）偏态分布：如上例中病人被收容的时间分布

（3）J型分布：如经济学中的供给曲线和需求曲线

（4）U型分布：如人和动物的死亡率分布

3.1描述统计

3.1.2集中趋势和离中趋势

我们可以从两个方面对正态分布的特征进行描述：一是数据分布的集中趋势，

二是数据分布的离散程度

u集中趋势特征指标

（1）众数

（2）中位数

（3）均值

u离中趋势特征指标

（1）极差

（2）四分位差

（3）标准差

（4）变异系数

3.2正态分布特征的描述

3.2.1众数、中位数、四分位数和均值

u众数

众数是一组数据中出现次数最多的变量值。众数是一组数据中心位的一个代表值。

一组数据中可以有多个众数也可以没有众数。

u中位数

中位数是一组数据按大小排序后，处于正中间位置上的变量值。

中位数位置=（N+1）/2

用、和分别表示把全部数据分割为各占1/4的四个部分的三个等分点，分

别称为第一分位数、第二分位数和第三分位数，其中就是中位数。

�1�2�3Q2

u均值

均值是全部数据的算术平均值，也称为算术平均数，记为

（）

��=�1�1+�2�2+

33��123�

��+表…示+算�术�平均/数�，+表�示+变�量+值…，+�表示权=数��/�

�����

3.2正态分布特征的描述

3.2.1众数、中位数、四分位数和均值

表3-1集中趋势和离中趋势计算表

图3-1正态分布图

根据表3-1可得：

众数=30

中位数=30

平均数=30

3.2正态分布特征的描述

3.2.2极差、四分位差、标准差和变异系数

u极差

极差等于数据分布中最大值与最小值之差，记为R。表3-1中R=55－5=50。

u四分位差

四分位差等于第3个四分位数（）与第1个四分位数（）之差，记为RQ。

则有

�3�1

在表3-1中，��=�3−�1

与极差相比，四分位差不受极端值的影响，对数据分布的离散趋势的描述比

��=�3−�1=35−25=10

较客观。但中间部分数据的离散状况也无法反映出来。

3.2正态分布特征的描述

3.2.2极差、四分位差、标准差和变异系数

u标准差

标准差等于离差平方平均数的平方根，记为，则有

（）σ

2

σ=�−��/�

在表3-1中，（）

2

u变异系数σ=�−��/�=6550/59=10.54

变异系数是反映数据分布相对离散程度的常用指标。它等于标准差除以均值

记为，则有

�

在表3-1中，�=�/�

由于标准差受计量单位大小的影响，还受到数据均值水平的影响，于是，计

�=�/�=10.54/30=0.3513

算变异系数来消除这些影响。

3.2正态分布特征的描述

3.2.2极差、四分位差、标准差和变异系数

表3-2A、B、C三组数据分布状况比较

3.2正态分布特征的描述

3.2.2极差、四分位差、标准差和变异系数

反映数据分布的两大数量特征为均值和标准差。但在比较表3-2中A、B、

C三组数据的离散程度时，变异系数发挥着重要作用。如下所示，由于＞

＞，所以组的相对离散程度最高，组最低。

ACV�

V�V�

��

=

30

��=

30��=

30

��=

10.54��

=

9.52��

=

10.54

14

��

=

0.3513

��=

0.3173��

=

0.2108

12

10

f8

频6

数

4

2

0

51015202530354045505560657075

变量x

图3-2三组分布状况比较

3.3偏态分布特征的描述

3.3.1偏态分布：正偏态和负偏态

表3-3偏态频率分布表

3.3偏态分布特征的描述

3.3.1偏态分布：正偏态和负偏态

偏态分布分为正偏态和负偏态。当均值大于众数时称为正偏态；

当均值小于众数时称为负偏态。

（a）正偏态（b）负偏态

图3-3偏态分布图

3.3偏态分布特征的描述

3.3.2分组下的众数和中位数

在组距分组情况下，众数的计算要考虑最大频数所在组相邻组的

分布，其计算公式如下：

（）

在表3-3中，�0=

�

+

�×∆1

/∆1+∆2

�0=

17.5

+

5×2

/

2

+

1

=

17.5

+

3.33

=

20.8在3组距分组条件下，中位数的计算要考虑频数的全部排序，其计

算公式如下：

（－）

在表3-3中�，�

=

�

+

�

×（�

/

2

－��）

/

��

��=

22.5

+

5×69/229/11

=

22.5

+

2.5

=

25

3.3偏态分布特征的描述

3.3.3分组下的均值及其与众数和中位数的关系

u分组下的均值

在组距分组条件下计算均值，其公式与单变量分组情况相同，则有

表3-3中，从均值（26.087）大于�众=数（�2�0/.833）�可知，数据分布为正偏态。

u分组下的均值与众数、中位数的关系

在适度偏态条件下，均值、众数和中位数之间的关系可以估算为：

均值－众数=3×（均值－中位数）

表3-3中，均值≈（3×中位数－众数）/2=（3×25－20.83）/2=27.09

中位数≈(众数+2×均值)/3=(20.83+2×26.08)/3=24.33

3.3偏态分布特征的描述

3.3.4标准差、变异系数和偏度系数

u偏态分布下标准差和变异系数的计算

（）

2

σ=�−��/�

数据分布状况对标准差的计算条件无影响

�

=σ/

�

u偏度系数

偏度系数反映数据分布偏移中心位置的程度，记为SK，则有

SK=（均值－中位数）/标准差

在表3-3中，SK=（26.083－25）/11.95=0.091

在正态分布条件下，由于均值等于众数所以偏度系数等于0。当偏度系数

大于0时，称为正偏态；当偏度系数小于0时，称为负偏态。

3.4双变量交叉分布特征的描述

3.4.1相关关系与协方差

表3-4居民家庭的人均食品支出（X）与家庭人均收入（Y）相关计算表

3.4双变量交叉分布特征的描述

3.4.1相关关系与协方差

一个变量的变化会依存另一个变量的变化而变化，我们称这两种关系

为相关关系。

2500

R2=0.9486

2000

x

1500

家1000

庭

食

品500

支

出

0

050010001500200025003000350040004500

家庭人均生活费收入y

对于变量x和y来说，协方差是指这两个变量各点的离差之积的平均数，

记为，则有

σ��

σ��=�−��−�/�

3.4双变量交叉分布特征的描述

3.4.1相关关系与协方差

图3-5协方差类别示意图

当＞时，为正相关（散点在第一、三象限）

当���

=

�−��−�/�0时，为负相关（散点在第二、四象限）

当���

=

�−��−�/�<0时，为完全无相关（散点在各