2021年上海市高考数学试卷(含解析)

2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）1．已知，，求．2．已知，，0，，则．3．若，求圆心坐标为．4．如图正方形的边长为3，求．5．已知，则（1）．6．已知二项式展开式中，的系数为80，则．7．已知，，则的最大值为．8．已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为．9．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为．10．已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．11．已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．12．已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A． B． C． D．14．已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程（）A． B． C． D．15．已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）A． B． C． D．16．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立（）A． B． C． D．三、解答题17．如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．18．在△中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．19．已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？20．（16分）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．（1）若是上顶点，，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．21．（18分）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）1．已知，，求．解：因为，，所以．故答案为：．2．已知，，0，，则，．解：因为，，0，，所以，．故答案为：，．3．若，求圆心坐标为．解：由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为．故答案为：．4．如图正方形的边长为3，求9．解：由数量积的定义，可得，因为，所以．故答案为：9．5．已知，则（1）．解：因为，令，即，解得，故（1）．故答案为：．6．已知二项式展开式中，的系数为80，则2．解：的展开式的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：2．7．已知，，则的最大值为4．解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距的相反数，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：．故答案为：4．8．已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为．解：设的公比为，由，的各项和为9，可得，解得，所以，，可得数列是首项为2，公比为的等比数列，则数列的各项和为．故答案为：．9．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为．解：如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，则，根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．综上所述，的取值范围为．故答案为：．10．已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．解：甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种，若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有种，共有种，则对应概率，故答案为：．11．已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，由抛物线的定义，可得，，，直线的斜率．故答案为：．12．已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为31．解：设，由题意可得，，恰有一个为1，如果，那么，，，，同样也有，，，，，全部加起来至少是；如果，那么，，，同样也有，，，，，全部加起来至少是，综上所述，最小应该是31．故答案为：31．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A． B． C． D．解：在上单调递减且为奇函数，符合题意；因为在上是增函数，不符合题意；，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：．14．已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程（）A． B． C． D．解：利用特殊值法进行排除，当时，，1，，当时，，当时，，当时，，故当时，或1或，即图象经过，，三个点，对照四个选项中的图象，只有选项符合要求．故选：．15．已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）A． B． C． D．解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上单调递减，当时，，，故选项错误，当时，，，，故选项正确，当时，，，故选项错误，当时，，，故选项错误．故选：．16．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立（）A． B． C． D．解：设，，，，根据题意，应该有，且，则有，则，因为，所以，所以项正确，错误．，而上面已证，因为不知道的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：．三、解答题17．如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．解：（1）如图，在长方体中，；（2）连接，，四边形为正方形，则，又，，平面，直线与平面所成的角为，．直线与平面所成的角为．18．在△中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，为锐角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．当时，时；当时，时．19．已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，即要解，则当时，，令，解得：，即当时，递减；当时，递增，由于（1），因此的解只能在时取得，经检验，，，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，数列满足，注意到，，，今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．20．（16分）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．（1）若是上顶点，，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．解：（1）因为的方程：，所以，，所以，所以，，若为的上顶点，则，所以，，又，所以；（2）设点，，则，因为在线段上，横坐标小于0，解得，故，设直线的方程为，由原点到直线的距离为，则，化简可得，解得或，故直线的方程为或（舍去，无法满足，所以直线的方程为；（3）联立方程组，可得，设，，，，则，因为，所以，又，故化简为，又，两边同时平方可得，，整理可得，当时，，因为点，在轴上方，所以有且仅有一个解，故对于任意，使得的直线有且仅有一条．21．（18分）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．解：（1）在，关联，在，不关联，任取，，则，，在，关联；取，，则，，，，在，不关联；（2）在关联，对于任意，都有，对任意，都有，由，时，，得在，的值域为，，在，的值域为，，仅在，或，上有解，，时，，令，解得，，时，，令，解得，不等式的解为，，（3）证明：①先证明：是在关联的，且是在，关联的在，是关联的，由已知条件可得，，，，