58　第八章　第58课时　椭圆及其性质

第58课时椭圆及其性质第八章解析几何[考试要求]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．掌握椭圆的简单应用．

以题引理·激活思维√

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1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的______，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距．常数焦点焦距2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点性质顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率a，b，c的关系c2＝__________2a2b2c(0，1)a2－b21．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据题目所给条件确定满足椭圆的定义的动点的轨迹．(2)待定系数法：①当不确定焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；

精研考点·提升素养√√√(2)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为_____________．(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为___________，最小值为___________．

名师点评：椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．(3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化．

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2．已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_____________．

【教用·备选题】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

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名师点评：利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；方程mx2＋ny2＝1表示椭圆的条件是：m>0，n>0，m≠n．

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(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．

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题号135246879101112131415课后作业(五十八)椭圆及其性质√16

题号13524687910111213141516题号213456879101112131415

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题号2134568791011121314151610．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(

)A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间题号213456879101112131415√16√√

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815．(2026·山东省实验中学模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P是棱上一点，则满足|PA|＋|PC'|＝2的点P的个数为(

)A．4 B．6C．8 D．12题号21345687910111213141516√

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题号21345687910111213141516√D

[设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆Γ，作出圆柱过椭圆Γ的长轴的截面图，如图，设长轴A，B与两圆的切点是F1，F2．连接O1O2，记椭圆长轴与O1O2交于点C，过