06　第二章　第6课时　函数的概念及其表示

第二章函数的概念与性质第二章函数的概念与性质

√第二章函数的概念与性质

√第二章函数的概念与性质

√第二章函数的概念与性质

4．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(

)A．x>y>z B．x>z>yC．y>x>z D．y>z>x难度：0.4命题点：数式的大小比较、对数的运算性质．√第二章函数的概念与性质

5．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(

)A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点难度：0.65命题点：函数的概念、偶函数及函数极小值点的概念．√第二章函数的概念与性质√√ABC

[取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，故选ABC．]

第二章函数的概念与性质声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2难度：0.65命题点：对数函数模型的应用、对数的运算性质．√第二章函数的概念与性质√√

1．重视基本运算教材经典1．化简下列各式：(1)log23×log34×log45×log52；(2)2(log43＋log83)(log32＋log92)．第二章函数的概念与性质

锚点：换底公式、对数的运算性质．2．落实核心概念教材经典2．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．第二章函数的概念与性质[解]

令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0．令x＝－y，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．锚点：抽象函数奇偶性的判断．

第二章函数的概念与性质

锚点：函数单调性的定义，一、二次函数的单调性．

第二章函数的概念与性质

锚点：特殊函数(飘带函数)的图象与性质．教材经典5．比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45．(对数型糖水不等式)第二章函数的概念与性质

锚点：对数式的大小比较．教材经典6．设a为给定实数，函数f(x)的定义域为A．(1)若对于任意x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，则此函数的图象一定具有怎样的对称性？请说明理由．(2)若对于任意x∈A，都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，则此函数的图象一定具有怎样的对称性？请说明理由．第二章函数的概念与性质[解]

(1)设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任一点，又f(a－x)－f(a＋x)＝0，则y0＝f(x0)＝f[a－(a－x0)]＝f[a＋(a－x0)]＝f(2a－x0)，所以Q(2a－x0，y0)也是函数图象上的点，又PQ的中点坐标为(a，y0)，此点在直线x＝a上，且PQ与直线x＝a垂直，即P，Q关于直线x＝a对称，而P是函数y＝f(x)图象上任一点，即y＝f(x)图象上任一点关于直线x＝a的对称点仍在函数图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称．(2)设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任一点，又f(a－x)＋f(a＋x)＝0，则y0＝f(x0)＝f[a－(a－x0)]＝－f[a＋(a－x0)]＝－f(2a－x0)，即－y0＝f(2a－x0)，所以M(2a－x0，－y0)也是函数图象上的点，又PM的中点坐标为(a，0)，即P，M关于点(a，0)成中心对称，而P是函数y＝f(x)图象上任一点，即y＝f(x)图象上任一点关于点(a，0)的对称点仍在函数图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称．锚点：函数的对称性的抽象关系式．第6课时函数的概念及其表示[考试要求]

1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．以题引理·激活思维1．(多选)(苏教版必修第一册P115练习T4改编)下列所给图象是函数图象的是(

)√√CD

[根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，选项A、B均不是函数图象，C、D是函数图象．故选CD．]

√

√

√√√

5．(湘教版必修第一册P78习题3.1T12改编)已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________；f(a)＝________．

3a2＋21．函数的概念一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．非空的实数集任意唯一确定2．同一个函数(1)函数的三要素：______、________、____．(2)如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法：______、______、______．定义域对应关系值域定义域对应关系解析法图象法列表法4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．2．求函数解析式的常用方法待定系数法、换元法、配凑法、消元法(解方程组法)、赋值法等，其中用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围．3．分段求解是解决分段函数问题的基本原则，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

精研考点·提升素养√

名师点评：求抽象函数定义域的方法(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围，即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域．[巩固迁移]1．(2026·湖南长沙模拟)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f(x＋1)的定义域和值域分别为(

)A．[0，2]和[6，10] B．[－2，0]和[6，10]C．[0，2]和[5，9] D．[－2，0]和[5，9]√D

[由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，可得x∈[－1，1]和f(x)∈[5，9]，令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，0]，又由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同，即f(x＋1)∈[5，9]．故选D．]

[－4，0]

√

x2－4x＋3(x≥1)

3xx2＋x＋1

(3)(解方程组法)2f(x)＋f(－x)＝3x，①令x＝－x代入①，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x．(4)法一：令y＝x，得f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1．法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，即f(－y)＝1＋y2－y，用x替换－y，得f(x)＝x2＋x＋1．]

√

名师点评：对于含双变量x，y的抽象函数求解析式问题常采用赋值法．

4x＋12028

√√√

对于C，当x≤－1时，f(x)＝x＋2<1，解得x<－1；当－1<x<2时，f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，∴f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；对于D，当x≤－1时，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1；当－1<x<2时，f(x)＝x2∈[0，4)，∴f(x)的值域为(－∞，4)，故D正确．故选ABD．]名师点评：分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

√(－∞，－1]

√

(－∞，e－1]

[当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1，解得x≤0，所以x≤0．当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)≤1，解得－1<x≤e－1，所以0<x≤e－1．综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1]．](－∞，e－1]

题号135246879101112131415课后作业(六)函数的概念及其表示√16

题号13524687910111213141516题号213456879101112131415

√B

[f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11．故选B．]16

题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415164．(2026·福建福州模拟)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，则函数g(x)＝x－[x]的值域为(

)A．[0，1) B．(0，1]C．(－1，0) D．(－1，1]题号213456879101112131415√A

[设x＝a＋b，其中a＝[x]，b为x的小数部分，则0≤b<1，则g(x)＝x－[x]＝b∈[0，1)，所以函数g(x)的值域为[0，1)．故选A．]165．已知函数f(x)满足f(x－1)＋2f(1－x)＝x2＋x，则f(2)＝(

)A．－4 B．4C．－3 D．3题号213456879101112131415√A

[因为f(x－1)＋2f(1－x)＝x2＋x，令x＝3，则f(2)＋2f(－2)＝12，令x＝－1，则f(－2)＋2f(2)＝0，联立以上两式可得f(2)＝－4，故选A．]16

题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415167．(2025·湖北黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4题号213456879101112131415√C

[令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有：f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C．]168．若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f(1)＝1，则f(30)＝(

)A．189 B．190C．464 D．465题号213456879101112131415√16D

[依题意，f(2)＝f(1)＋f(1)＋1×1＝3，f(3)＝f(2)＋f(1)＋1×2＝3＋1＋2＝6，f(4)＝f(2)＋f(2)＋2×2＝3＋3＋4＝10，f(5)＝f(2)＋f(3)＋2×3＝3＋6＋6＝15，f(6)＝f(2)＋f(4)＋2×4＝3＋10＋8＝21，f(7)＝f(2)＋f(5)＋2×5＝3＋15＋10＝28，f(8)＝f(2)＋f(6)＋2×6＝3＋21＋12＝36，f(15)＝f(7)＋f(8)＋7×8＝28＋36＋56＝120，f(30)＝f(15)＋f(15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号2134568791011121314151610．给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f为函数的是(

)A．f：A→B，y＝f(x) B．f：B→A，y＝f(x)C．f：A→B，x＝f(y) D．f：B→A，x＝f(y)题号213456879101112131415√16√√ABD

[对于A，y＝f(x)＝2x，∀x∈A，均有唯一确定的f(x)∈(0，＋∞)＝B，符合函数定义，A正确；对于B，y＝f(x)＝2x，∀x∈B，均有唯一确定的f(x)∈(1，＋∞)⊆A，符合函数定义，B正确；对于C，x＝f(y)＝log2y，取y＝1∈A，x＝0∉B，不符合函数定义，C错误；对于D，x＝f(y)＝log2y，∀y∈B，均有唯一确定的f(y)∈R＝A，符合函数定义，D正确．故选ABD．]题号2134568791011121314151611．十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是(

)A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2C．f(x)＝ex D．f(x)＝lnx题号213456879101112131415√16√AC

[对于A，f(x)＝1，则f(－x)＝1，所以f(x)·f(－x)＝1，故A正确；对于B，f(x)＝x2，则f(2)·f(－2)＝16，故B错误；对于C，f(x)＝ex，则f(－x)＝e-x．所以f(x)·f(－x)＝1，故C正确；对于D，f(x)＝ln

x的定义域为(0，＋∞)，则当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，此时f(－x)无意义，故D错误．故选AC．]题号21345687910111213141516

题号21345