56　第八章　第56课时　圆的方程

第56课时圆的方程第八章解析几何[考试要求]1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．以题引理·激活思维1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2改编)圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0的圆心坐标与半径分别为(

)A．(2，－2)，4 B．(－2，2)，4C．(－2，2)，2 D．(2，－2)，2√D

[由圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，可得圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心坐标为C(2，－2)，半径为2．故选D．]

√

√4．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(

)A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10

√

5．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_____________．x2＋y2－2x＝01．圆的定义及方程定义平面上到______的距离等于______的点的集合(轨迹)标准方程______________________圆心__________，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)(a，b)

2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则_____________________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则_____________________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________．(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

精研考点·提升素养√√(x－1)2＋(y＋1)2＝5

名师点评：几何法求圆的方程时常用的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．[巩固迁移]1．(2025·北京海淀区二模)圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切的圆的方程为(

)A．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4C．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4√D

[∵圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切，∴圆的半径r＝2，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4．故选D．]2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是_____________．(－2，－4)

5

[由已知方程表示圆，得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1．当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．](－2，－4)53．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为_____________________________________．

x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0．故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．]

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2．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．[解]

由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m>0，则m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．

12

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(2)建立函数关系式求最值问题的解题策略根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．

√

√

6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是_____________．

√

考点三

与圆有关的轨迹问题[典例5]已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

名师点评：求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．提醒：注意特殊点的取舍．

【拓展融合】

阿波罗尼斯圆如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．

√√√

√

√√

3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．

题号1352468791011121314课后作业(五十六)圆的方程√

题号1352468791011121314题号21345687910111213142．(2026·河南郑州模拟)已知圆A的圆心为(4，4)，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为(

)A．5 B．6C．7 D．8√

3．(2025·贵州三模)“关于x，y的方程：x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题号2134568791011121314√

题号21345687910111213144．(2025·长宁区期末)已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是(

)A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√ABD

[由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；圆心到y轴的距离d＝2<4，则圆与y轴相交，C错误；题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13(写1个即可)题号2134568791011121314

10．已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_______________________．题号2134568791011121314

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题号2134568791011121314√√√

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13．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为_____________．题号2134568791011121314

题号213456879101112131414．在平面直角坐标系Oxy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(1)求实数b的取值范围；(2)请问圆C是否经过某定点，且定点坐标与b