55　第八章　第55课时　两条直线的位置关系

第55课时两条直线的位置关系第八章解析几何[考试要求]1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．以题引理·激活思维

√

2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(

)A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0√C

[∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1．∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]

√

4．(人教B版选择性必修第一册P97练习BT1改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于_____________．4

5．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为_____________．

1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行____________________________________________________垂直______________________________相交____________________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠0

3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________________________．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝_________．(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________．(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________．

三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．

精研考点·提升素养√√

名师点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”[巩固迁移]1．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(

)A．矩形 B．菱形C．等腰梯形 D．直角梯形√

2．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，实数m的值最多有(

)A．3个 B．4个C．5个 D．6个√

√(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为___________________．(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为___________________________．5x＋3y－1＝0x＋3y－5＝0或x＝－1

名师点评：(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．(2)点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．②求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．[巩固迁移]3．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(

)A．3 B．4C．2 D．6√

4．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为_____________，此时两平行直线方程分别为___________________________________．

3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0

【教用·备选题】1．(2025·广西来宾模拟)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1)，则过点A(1，－1)且与l垂直的直线方程为(

)A．x－2y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－1＝0√

√

√x＋4y－4＝0

(2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]

√

√

考向3

直线关于直线对称[典例5]两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(

)A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0√

名师点评：对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．[二级结论]

五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．

√√

2x－y－5＝0

[∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A1(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A2(1，－3)也在直线BC上．由两点式，可得直线BC的方程为2x－y－5＝0．]6．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为_____________．2x－y－5＝0一、单项选择题1．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(

)A．－4 B．20C．0 D．24题号13524687910111213课后作业(五十五)两条直线的位置关系√

题号13524687910111213题号21345687910111213

√

题号213456879101112133．(2026·山东省实验中学模拟)实数a，b满足a＋b＋1＝0，则a2－2a＋b2的最小值为(

)A．2 B．1C．0 D．－1题号21345687910111213√

4．直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程为(

)A．7x－y－22＝0 B．7x＋y＋22＝0C．6x－y＋22＝0 D．6x＋y＋22＝0题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√√√

题号213456879101112138．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值可为(

)A．2 B．3C．4 D．6题号21345687910111213√√√

题号21345687910111213三、填空题9．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为______________________．题号213456879101112132x＋3y－1＝0

10．在x轴上求一点P，使以A(1