50　第七章　第50课时　几何法求空间角、空间距离

第50课时几何法求空间角、空间距离第七章立体几何与空间向量[考试要求]能用几何法解决直线与平面所成的角、二面角及空间距离问题，体会几何法在研究空间角及空间距离中的作用．以题引理·激活思维1．(人教B版必修第四册P125习题11－4CT2改编)若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(

)A．60° B．45°C．30° D．90°√

2．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_____________．

3．(人教A版必修第二册P171复习参考题8T13改编)如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为_____________．90°90°

[∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°．所以二面角B-PA-C的大小为90°．]4．(人教A版必修第二册P152练习T4改编)已知点P为边长为a的正△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为_____________．

1．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在__________________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°．(2)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是_________________．平面上的射影0°≤θ≤90°

2．二面角

(1)从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任一点为垂足，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：_______________．两个半平面垂直于棱0°≤α≤180°

精研考点·提升素养√

技法3

三余弦定理求线面角【引理】

三余弦定理设A为平面α上一点，过A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面上的一条直线，记斜线AO与直线AB的夹角为θ1，直线AB与直线AC的夹角为θ2，直线AO与直线AC的夹角为θ，则cosθ＝cosθ1·cosθ2．

[典例3]已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为_____．

45°名师点评：对于直线与平面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角，这就是定义法和垂面法．借助三余弦定理或等体积法求直线与平面所成的角，可以达到事半功倍的效果．[巩固迁移]1．(2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC

＝2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

【拓展融合】

三正弦定理如图，设二面角α'-AB-β'的平面角为α，在平面α'内有一条射线AC，AC与棱AB所成的角为β，AC与平面β'所成的角为γ，则sinγ＝sinα·sinβ．该定理表明，二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成角的最大值，即二面角是线面角的最大值．【加固训练】

(1)已知棱长为1的正四面体P-ABC，PC的中点为D，动点E在线段AD上，则直线BE与平面ABC所成角的正切值的取值范围是_____________．(2)如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PC＝AC，若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，则PC与平面PAM所成角的正弦值为_____________．

【教用·备选题】已知二面角α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β．设直线AB与平面α，β所成角分别为θ1，θ2，则(

)A．θ1＋θ2＝90°

B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2<90°√C

[过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D(图略)，则AC⊥β，BD⊥α，∠ABC＝θ2，∠BAD＝θ1．由三余弦定理，知θ2≤∠ABD．又∠ABD＋θ1＝90°，所以θ1＋θ2≤90°．故选C．]

√

技法2

三垂线法求二面角[典例5]如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小．[解]

(1)证明：作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，则AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，则AD⊥BC．又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAC．

技法3

射影面积法求二面角[典例6]如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．

名师点评：作二面角的平面角的方法(1)直接法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点．(2)垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角．(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足向二面角的棱作垂线，可找到二面角的平面角或其补角．[巩固迁移]2．已知正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是BB'，DD'的中点，则截面AMC'N与平面ABCD所成角的余弦值为_____________；截面AMC'N与平面CC'D'D所成角的余弦值为_____________．

3．如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是等边三角形，BD⊥DC，AB＝2，AC＝4，∠DBC＝60°，E，F分别为AD，DC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面ADC；(2)求二面角E-BF-D的余弦值．

(2)因为CD⊥平面ABD，CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABD，在△ABD中，过E作BD的垂线，垂足为O，过O作BF的垂线，垂足为G，连接EG，如图所示，因为平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，EO⊥BD，EO⊂平面ABD，所以EO⊥平面BCD，又BF⊂平面BCD，所以EO⊥BF，因为GO⊥BF，GO∩OE＝O，GO，OE⊂平面GOE，所以BF⊥平面GOE，

考点三

距离问题[典例7]已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，对角线B1C＝10，D是棱AC的中点．求：(1)点B1到直线AC的距离；(2)直线AB1到平面C1BD的距离．

名师点评：(1)求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解．(2)求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助等体积法求解．

√

√

[解]

(1)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．

一、单项选择题1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是(

)A．θ1＝θ2 B．θ1>θ2C．θ1<θ2 D．不能确定题号135246879101112课后作业(五十)几何法求空间角、空间距离√C

[因为θ1是线面角，θ2是线线角，由最小角定理知θ1≤θ2，又BC不是A1P在底面ABC上的射影，故θ1<θ2．]题号135246879101112题号213456879101112

√

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√B

[平面SAD∩平面SBC＝l，如图所示：因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，所以BC∥平面SAD，因为BC⊂平面SBC，平面SAD∩平面SBC＝l，所以l∥BC，故l∥AD，因为SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥SD，因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥CD，因为SD∩CD＝D，SD，CD⊂平面SCD，所以AD⊥平面SCD，故l⊥平面SCD．题号213456879101112

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112

题号213456879101112二、多项选择题7．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD

-A1B1C1D1，则(

)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°题号213456879101112√√√ABD

[如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角．因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1，因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确；题号213456879101112

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题号213456879101112√√

题号213456879101112

题号213456879101112三、填空题9．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A-BD-C的余弦值为_______________．题号213456879101112

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题号21345687910111210．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_____________．题号213456879101112

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题号213456879101112一、单项选择题1．(2025·马鞍山模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，截去三棱锥C1-ABC后，剩余的部分是(

)A．五棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台题号1352468791011121314阶段评估(九)

(第45课时~第50课时)√B

[如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，截去三棱锥C1-ABC后，剩余的部分的几何体是四棱锥C1-A1B1BA．故选B．]题号1352468791011121314题号21345687910111213142．(2026·辽宁鞍山期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面命题中正确的是(

)A．若m∥n，n∥α，则m∥αB．若n⊂α，n∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β√D

[若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若n⊂α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理可知α⊥β，故D正确．故选D．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

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题号2134568791011121314√

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题号2134568791011121314√A

[AF，BE是异面直线，下面证明BE与AF垂直．因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，连接BF，所以BF⊥CD，因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，取AF的中点Q，连接BQ，EQ，因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF，又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF，题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

题号21345687910111213148．(2026·广东深圳开学考试)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱B1C1，CD的中点，则下列结论错误的是(

)A．EF∥平面ABB1A1B．A1E⊥平面BB1FC．点D1在平面BEF内D．AE⊥BD题号2134568791011121314√√√ACD

[对于A，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，而EF∩平面DCC1D1＝F，所以EF∥平面ABB1A1不正确，A错误；对于B，取G为C1D1的中点，连接B1G，FG，又F为CD的中点，则FG∥DD1∥BB1，所以F，G，B1，B四点共面，故平面FGB1B即为平面BB1F，由题意知Rt△A1EB1≌Rt△B1GC1，则∠GB1C1＋∠A1EB1＝∠GB1C1＋∠B1GC1＝90°，所以A1E⊥B1G，又FG＝DD1＝BB1，则四边形FGB1B为平行四边形，故B1G∥BF，所以A1E⊥BF，题号2134568791011121314由BB1⊥平面A1B1C1D1，A1E⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1E，由BF∩BB1＝B，BF，BB1⊂平面BB1F，则A1E⊥平面BB1F，B正确；对于C，取H为GC1的中点，则EH∥B1G，故EH∥BF，故E，H，B，F四点共面，而D1∉EH，且D1∈平面A1B1C1D1，EH⊂平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面EHFB＝EH，所以点D1不在平面BEF内，C错误；题号2134568791011121314题号2134568791011121314对于D，由AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，若AE⊥BD，B1D1∥BD，则AE⊥B1D1，而AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面AA1E，则B1D1⊥平面AA1E，由A1E⊂平面AA1E，则B1D1⊥A1E，由B分析知A1E⊥B1G，而D1∉B1G，与A1E⊥B1D1矛盾，D错误．故选ACD．]

题号213456879101112131452

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题号213456879101112131412．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．题号2134568791011121314[解]

(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC