72　第九章　第72课时　用样本估计总体

第72课时用样本估计总体第十章统计与成对数据的统计分析[考试要求]1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．3．掌握分层随机抽样的样本方差．以题引理·激活思维1．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两位同学本学期几次数学考试成绩哪位较稳定，通常需要知道这两人成绩的(

)A．平均数 B．众数C．方差 D．频率分布√2．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为(

)A．2 B．4C．6 D．8D

[根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8．故选D．]√3．(多选)(苏教版必修第二册P257练习T1改编)给定一组数1，3，3，4，6，7，8，8，则这组数据的(

)A．中位数为4 B．方差为6C．平均数为5 D．70%分位数为7√√√

4．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是_____________________．

13.7，14.7，15.3

5．(人教A版必修第二册P207探究改编)某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝_______；估计该校学生竞赛成绩的众数为_________，平均成绩为________．0.0107575.50.010

75

75.5

[由于组距为10，所以有a＋0.020＋0.035＋0.025＋a＝0.1，得a＝0.010．竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值75作为众数的估计值．平均成绩为0.1×55＋0.2×65＋0.35×75＋0.25×85＋0.1×95＝75.5．]1．百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据_______________这个值．p%大于或等于2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按____________排列原始数据；第2步，计算i＝______；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第__项与第__________项数据的平均数．从小到大n×p%ji(i＋1)3．四分位数(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(2)第____百分位数又称为第一四分位数或下四分位数；第____百分位数又称为第三四分位数或上四分位数．25754．平均数、中位数和众数(1)平均数：______________________．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最______的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的_________(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数______的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

中间平均数最多

考点一

总体百分位数的估计[典例1]

(1)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是(

)A．7 B．6C．5 D．4精研考点·提升素养√(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(

)A．7 B．7.5C．7.8 D．8√

名师点评：计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤[巩固迁移]1．(2026·湖南长沙开学考试)设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是(

)A．[1，2] B．(1，2]C．[3，4] D．{2}√A

[因为5×25%＝1.25，且五个数中下四分位数为m，所以由小到大排列，m在第二位，所以1≤m≤2．故选A．]2．(2025·江苏南通一模)一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9，x，11，12，若删去x，前后它们的第80百分位数相同，则x＝_____________．

11【教用·备选题】1．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将所有数据按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为(

)A．80 B．78C．76 D．74√

2．若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是_____________．[4.5，＋∞)

[因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5，所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5．][4.5，＋∞)考点二

总体集中趋势的估计[典例2]

(多选)某校高二年级举行体育测试，共有500人参加考试．为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60)内的人数为32，则由样本估计总体，可知下列结论正确的为(

)A．n＝200B．估计考生成绩的众数为72C．估计考生成绩的中位数为71D．估计该市考生成绩的平均分为70.6√√√

名师点评：频率分布直方图中求中位数，一般先确定中位数所在的区间，再利用“0.5－较低累积频率＝(x－区间左端点值)×区间纵坐标”，求得x即可．一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数．[巩固迁移]3．(2026·河南安阳模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是(

)A．图(1)的平均数＝中位数＝众数B．图(2)的众数<中位数<平均数C．图(2)的平均数<众数<中位数D．图(3)的平均数<中位数<众数√C

[题图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图(2)中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；题图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确．故选C．]4．有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是_____________．(填“众数”“中位数”或“平均数”)中位数中位数[因为7名获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖．]【教用·备选题】某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘成频率分布直方图(如图)．(1)求x的值；(2)分别求出抽取的20人中得分落在[0，20)和[20，40)内的人数；(3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．[解]

(1)由频率分布直方图的性质得：(0.005

0＋0.007

5＋x＋0.012

5＋0.015

0)×20＝1，解得x＝0.010

0．(2)由频率分布直方图得：得分落在[0，20)内的人数为20×0.005

0×20＝2，得分落在[20，40)内的人数为20×0.007

5×20＝3．

考点三

总体离散程度的估计[典例3]

(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：

试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

[解]

(1)由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012

名师点评：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

√

6．(2026·湖北武汉模拟)某研究所为深入研究某地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株(m，n∈N*)古茶树进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量(单位：kg)如下表所示．编号位置①②③④山上5443山下4221

一、单项选择题1．(2025·全国二卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(

)A．8 B．9C．12 D．18

题号1352468791011课后作业(七十二)用样本估计总体√题号21345687910112．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多．某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：

则这50名学生的借书数量的上四分位数是(

)A．8 B．8.5C．9 D．10√借书数量/本5678910频数/人58131194C

[由50×75%＝37.5，得上四分位数为借书数量从小到大排序后的第38个数．又5＋8＋13＋11＝37<38，所以上四分位数是9．故选C．]题号2134568791011

题号2134568791011√

4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(

)A．7.6 B．7.8C．8 D．8.2题号2134568791011√

题号21345687910115．(2025·江苏苏锡常镇二模)诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是(

)A．极差 B．平均数C．中位数 D．标准差题号2134568791011√C

[根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，因此一定不变的数字特征是中位数．故选C．]题号21345687910116．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)(

)A．x3<x1<x2

B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2

D．x1<x2<x3题号2134568791011√

题号2134568791011二、多项选择题7．(2026·江苏镇江模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)与田块数的关系，并整理下表题号2134568791011亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200]田块数61218302410据表中数据，下列结论正确的是(

)A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例低于70%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间题号2134568791011√√

题号2134568791011

题号21345687910118．(2025·河南信阳二模)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10．则(

)A．a＝0.004B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25题号2134568791011√√√BCD

[A项，(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，∴a＝0.005，A项错误；B项，[50，70)内频率为：5×0.005×10＝0.25<0.5，[50，80)内的频率为：12×0.005×10＝0.6>0.5，则中位数在[70，80)内，设中位数为x，则0.25＋(x－70)×7×0.005＝0.5，则x≈77.14，B正确；题号2134568791011

题号2134568791011三、填空题9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：题号2134568791011如果甲、乙只有1人能入选，则入选的应是_____________．甲108999乙1010799甲

题号213456879101110．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是____________________________________________．(写出一个满足条件的m值即可)题号21345687910117