39　第五章　第39课时　复数

第39课时复数第五章平面向量、复数[考试要求]1．通过方程的解认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．1．(苏教版必修第二册P122习题12.1T2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论中正确的是(

)A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2C．若b＝0，则a＋bi为实数D．若a＝b＝0，则z不是复数以题引理·激活思维√C

[对于A，当a＝0且b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；对于B，a＝3，b＝－2，故B错误；对于C，若b＝0，则a＋bi为实数，C正确；对于D，若a＝b＝0，则z＝0，也是复数，故D错误．故选C．]

√

√

2＋i

5

ab

(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔______________(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔________________(a，b，c，d∈R)．a＝c且b＝da＝c且b＝－d

Z(a，b)

(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i

1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题．2．复数的加、减及乘法运算类似于多项式的加、减及乘法运算；复数的除法类似于分母有理化，其关键是分子分母同乘分母的共轭复数．3．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．考点一

复数的有关概念[典例1]

(1)(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(

)A．－1 B．0C．1 D．6(2)(2025·内蒙古呼和浩特二模)已知i为虚数单位，若复数z－1为纯虚数，z＋2i为实数，则|z|＝_____________．精研考点·提升素养√

名师点评：解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．[巩固迁移]1．(多选)已知复数z，下列结论正确的是(

)A．若z＋1∈R，则z∈RB．若z＋i∈R，则z的虚部为－1C．若|z|＝1，则z＝±1D．若z2∈R，则z∈R√√AB

[对于A，设z＝a＋bi，由z＋1＝(a＋1)＋bi∈R得b＝0，那么z＝a＋bi也是实数，故A正确；对于B，设z＝a＋bi，由z＋i＝a＋(b＋1)i∈R得b＝－1，那么z的虚部为－1，故B正确；对于C，若z＝i，则|z|＝1，此时z≠±1，故C错误；对于D，若z＝i，则z2＝i2＝－1为实数，此时z不是实数，故D错误．]

2．已知复数z满足z＋|z|＝2＋4i，则z的共轭复数的虚部为_____________．－4

√

√√√

√√

名师点评：复系数方程的根成对出现，且满足根与系数的关系．

√√

√√√

√√√

√

名师点评：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[巩固迁移]5．复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，－2) B．(－3，－2)C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)√

√

√

√

题号135246879101112131415课后作业(三十九)复数√16题号213456879101112131415

√

163．(2025·山东泰安一模)已知i为虚数单位，若(1－i)·(2＋ai)是纯虚数，则实数a＝(

)A．－4 B．－2C．1 D．2题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

165．(2026·江西九江模拟)若2＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则b＝(

)A．2 B．3C．4 D．5题号213456879101112131415√

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题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415016

题号2134568791011121314151＋i或－1－i(任选一个作答即可)16

题号21345687910111213141516

题号2134568791011121314151615．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1的值可能为(

)A．0 B．1C．2 D．3题号21345687910111213141516√√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号1352468791011121314阶段评估(七)

(第35课时~第39课时)√题号2134568791011121314

√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

5．(2026·湖北武汉模拟)已知2－2i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则(

)A．b＝4，c＝8 B．b＝4，c＝－8C．b＝－4，c＝8 D．b＝－4，c＝－8题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号21345687910111213147．已知向量a＝(1，1)，b＝(x，－2)，则“x<2”是“a与b的夹角为钝角”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314二、多项选择题9．(2026·湖南长沙模拟)已知复数z1，z2满足2z1＋z2＝4＋i，z1－z2＝5－4i，则(

)A．z1＝3－iB．z2在复平面内对应的点位于第一象限C．z2－6i的虚部为－3D．z1z2的共轭复数为3＋11i题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

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题号2134568791011121314

题号2134568791011121314三、填空题12．(2025·广东茂名二模)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ＝_____________．题号2134568791011121314

13．(2026·山东师大附中模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋2b|＝|a－b|，则|a＋b|＝_____________．题号21345687910111213142

[因为|a＋2b|