09　第二章　第9课时　函数的对称性

第9课时函数的对称性第二章函数的概念与性质[考试要求]

1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．以题引理·激活思维

√

√

√C

[因为y＝f(x－1)是偶函数，则y＝f(x－1)图象的对称轴为直线x＝0，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度可得y＝f(x)的图象，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝－1．故选C．]4．(人教B版必修第一册P115练习BT1改编)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(1)＝________．55

[由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5．]5．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1．(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)图象的对称中心为点________．2(0，1)(1)2

(2)(0，1)

[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2．(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以其图象的对称中心为点(0，0)，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，1)．

1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点__________．原点y轴x＝a(a，0)

y轴x轴原点

精研考点·提升素养

名师点评：证明函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称即证明f(x)＝f(2a－x)或f(a－x)＝f(a＋x)成立．[巩固迁移]1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(

)A．－4 B．0C．4 D．8√D

[由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．]

4

10

[巩固迁移]3．(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)＝(x＋2)·(2x2＋ax＋b)的图象关于点(1，0)对称，则a＋2b＝________．

6

√

[巩固迁移]5．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(

)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)√B

[y＝ln

x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln

x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B．]一、单项选择题1．下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A．y＝tanx B．y＝x-1C．y＝x3 D．y＝ln|x|题号13524687910111213课后作业(九)函数的对称性√B

[正切函数y＝tan

x的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合；y＝x-1的图象关于原点和y＝±x对称，符合；y＝x3的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由ln

|－x|＝ln

|x|，即y＝ln|x|的图象关于y轴对称，但没有对称中心，不符合．故选B．]题号13524687910111213题号213456879101112132．已知函数f(x)＝3|x-a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(

)A．29 B．11C．3 D．5√B

[因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x-a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11．故选B．]3．(2026·山东东营模拟)已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x＋2)＋2的图象(

)A．关于点(－2，2)对称B．关于点(2，－2)对称C．关于直线x＝2对称D．关于直线x＝－2对称题号21345687910111213√A

[因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．又函数y＝f(x＋2)＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称．故选A．]题号213456879101112134．(2026·河南开封模拟)已知函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，当x<1时，f(x)＝x(x＋1)，则当x>1时，f(x)＝(

)A．－(x－2)(x－3) B．(x－2)(x－3)C．－x(x－1) D．x(x－1)题号21345687910111213√A

[当x<1时，f(x)＝x(x＋1)，则当x>1时，2－x<1，故f(2－x)＝(2－x)(3－x)，又函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，则f(x)＝－f(2－x)＝－(x－2)(x－3)．即当x>1时，f(x)＝－(x－2)(x－3)．故选A．]题号213456879101112135．已知y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(

)A．6 B．5C．－6 D．－5题号21345687910111213√D

[由y＝f(x＋1)＋1为奇函数，可知f(x)的图象关于点(1，－1)对称，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝[f(－1)＋f(3)]＋f(1)＋[f(0)＋f(2)]＝－2－1－2＝－5．故选D．]

题号21345687910111213√

题号21345687910111213二、多项选择题7．对于定义在R上的函数f(x)，下列结论正确的是(

)A．若f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称B．若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称C．函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称D．若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数题号21345687910111213√√BD

[对于A，对任意x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，用x＋1替换x，得f(x＋2)＝f(x)，可得函数f(x)是周期为2的周期函数，则y＝f(x)的图象的对称性不确定，故A错误；对于B，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，而y＝f(x－1)的图象是将y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，∴y＝f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；题号21345687910111213对于C，函数y＝f(1＋x)是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；函数y＝f(1－x)的图象是由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到，而y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；题号21345687910111213对于D，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则将其向左平移1个单位长度得到f(x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，则f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数，故D正确．故选BD．]题号213456879101112138．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(

)A．函数f(x)的周期为2B．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C．函数f(x)为偶函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称题号21345687910111213√√BC

[因为f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，A错误；因为函数y＝f(2－x)是偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(2－x)＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；题号21345687910111213由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，C正确；由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(3－x)＝f(1＋x)，因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]题号21345687910111213

题号21345687910111213－5

题号213456879101112138090

题号2134568791011121311．(2026·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则(

)A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1C．f(2)＝0 D．f(3)＝0题号21345687910111213√D

[根据题意，因为函数f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(1－x)＝－f(1＋x)，所以f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(1)＝0．又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0．故选D．]题号2134568791011121312．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(

)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数题号21345687910111213√√√ACD

[∵f(2