77　第九章　第70课时　用样本估计总体

第九章统计与成对数据的统计分析第70课时用样本估计总体[考试要求]

1．能用样本估计总体的取值规律，会求n个数据的第p百分位数．2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．3．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．理法先行·题练固本知识点1

百分位数(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据__________这个值，且至少有____________的数据大于或等于这个值．小于或等于(100－p)%(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_______．(3)第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称_____四分位数或___四分位数，第75百分位数也称_____四分位数或___四分位数．j平均数第一下第三上知识点2

众数、中位数与平均数(1)众数：一组数据中重复出现次数____的数据．(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在____位置的数(或中间两个数的______)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…

xn，那么______________________叫做这n个数的平均数．一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用______、______；而对分类型数据集中趋势的描述，可以用____．最多中间平均值

平均数中位数众数

[常用结论]1．频率分布直方图中的常用结论(1)众数的估计值为最高矩形底边中点对应的横坐标；(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的．

1．(人教A版必修第二册P203例2改编)某射击运动员7次训练的成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为(

)A．88.5

B．89

C．91

D．89.5√B

[因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89．故选B．]2．(人教A版必修第二册P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(

)A．一定为5.5kW·h B．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·h D．约为5.5kW·h√D

[由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5

kW·h．]3．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的(

)A．平均数 B．众数C．方差 D．频率分布√C

[方差刻画一组数据的集中程度或稳定性．故选C．]4．(人教A版必修第二册P216习题9.2T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲

0

1

0

2

2

0

3

1

2

4乙

2

3

1

1

0

2

1

1

0

1分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，______________机床的性能更好．

乙

5．(用结论)若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为______________．

2

[设数据x1，x2，…，x10的方差为s2，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为9s2，由题可知9s2＝18，解得s2＝2．]2

考点深研·题型突破考点一

总体百分位数的估计[典例1]

(1)(2025·丽江三模)样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为(

)A．16 B．17C．23 D．24√(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(

)A．7 B．7.5C．7.8 D．8√

[多维变迁]1．(2025·开封月考)已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，6] B．(－∞，8)C．(－∞，8] D．(6，8)√C

[已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，由题可知数据的总个数为6，6×75%＝4.5，所以该组数据的75%分位数是这组数据从小到大排列后的第5个数据，则m≤8，即实数m的取值范围是(－∞，8]．故选C．]2．(2025·福州期末)某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50，100]内)，将所得数据分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(

)A．82.5 B．81.5C．87.5 D．85√D

[根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，第一组的频率为0.010×10＝0.1，第二组的频率为0.015×10＝0.15，第三组的频率为0.020×10＝0.2，第四组的频率为0.030×10＝0.3，则x在第四组，则0.1＋0.15＋0.2＋(x－80)×0.03＝0.6，解得x＝85．故估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．故选D．]考点二

总体集中趋势的估计考向1

样本的数字特征[典例2]

(多选)(2025·大同月考)某地连续8天的最高气温(单位：摄氏度)分别为26，29，27，29，26，29，31，33，则这8个数据的(

)A．平均数为28.75 B．众数为29C．中位数为27.5 D．第80百分位数为31√√√

通性通法：中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用．[多维变迁]1．(2025·保定三模)一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为(

)A．7.5 B．6C．4.5 D．3√

√

【教用·备选题】(2025·长沙月考)已知某台机器生产一种零件，在10天中，每天生产的次品数为1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，则该机器生产次品数的中位数为

________．

2.5

考向2

频率分布直方图中的数字特征[典例3]

某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和中位数(精确到0.1)．

前两组频率和：0.05＋0.25＝0.3<0.5，前三组频率和：0.3＋0.45＝0.75>0.5，因此，中位数在第三组[65，75)内，设中位数为x，则0.3＋0.045×(x－65)＝0.5，解得x≈69.4．则这100名候选者的众数、平均数和中位数分别约为70分、69.5分和69.4分．[多维变迁](多选)(2025·长沙期末)在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有(

)A．成绩在[70，80)分的考生人数最多B．考生考试成绩的第80百分位数为83.3C．考生考试成绩的平均分约为70.5分D．考生考试成绩的中位数为75分√√√ABC

[A选项，由频率分布直方图知[70，80)对应矩形最高，即频率最大，故成绩在[70，80)内的考生人数最多，A选项正确；B选项，由0.01×10＝0.1<0.2<(0.01＋0.015)×10＝0.25，故成绩的第80百分位数在区间[80，90)内，设为x，则0.1＋(90－x)×0.015＝0.2，可得x≈83.3分，B选项正确；C选项，由题图知，平均分为0.1×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.15×85＋0.1×95＝70.5，C选项正确；D选项，由(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5<(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75，所以中位数位于区间[70，80)，设为y，则0.5－0.45＝(y－70)×0.03，可得y≈71.7分，D选项错误．故选ABC．]考点三

总体离散程度的估计[典例4]

(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

[解]

(1)由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012

通性通法：总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．

√

√

1．(链接考点三)下列说法正确的是(

)A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D．在记录两个射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定√

2．(链接考点一)(2026·石家庄模拟)为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75%分位数为(

)A．93.5 B．93C．92 D．91.5√

3．(链接考向2)(多选)(2025·海口琼山区校级期中)某校开展了“爱祖国，跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50至100分之间，现随机抽取200名学生的成绩，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则(

)A．在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90)内的学生有50人B．图中x的值为0.040C．估计全校学生成绩的众数为95D．估计全校学生成绩的70%分位数为92.5√√√

设70%分位数为m，因为成绩在[50，90)的频率为(0.005＋0.010＋0.015＋0.030)×10＝0.6，而成绩在[50，100]的频率为1，所以m在[90，100]内，根据分位数计算公式0.6＋(m－90)×0.04＝0.7，解得m＝92.5，所以估计全校学生成绩的70%分位数为92.5，所以选项D正确．故选BCD．]4．(链接考向1)(2025·西宁期末)数据1，2，a，a＋1是按从小到大的顺序排列的，它的中位数是3，则这组数据的平均数为______．

3

题号135246879101112√一、单项选择题1．(苏教版必修第二册P270本章测试T7改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(

)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a课时作业(七十)用样本估计总体题号135246879101112

√2．(2025·苏州期末)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为(

)A．3 B．5C．6 D．12题号135246879101112D

[∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，∴2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×3＝12．故选D．]√3．(2025·德州期末)在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分分别为10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的75%分位数是(

)A．6.5 B．8C．8.5 D．9题号135246879101112

题号135246879101112√4．(2025·通州期末)已知一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为(

)A．2 B．2.1C．2.2 D．2.4题号135246879101112

题号135246879101112√5．(2025·南通期末)10名运动员比赛前进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的(

)A．众数为12 B．平均数为14C．中位数为15 D．第85百分位数为16题号135246879101112

题号135246879101112√6．(2025·天津月考)某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制，统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图，图中m＝2n，则下列结论不正确的是(

)A．n＝0.015B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分D．满意度计分的第25百分位数约为70分题号135246879101112C

[对于A，由频率分布直方图可得(0.01＋n＋0.035＋m＋0.01)×10＝1，又m＝2n，解得n＝0.015，m＝0.03，故A正确；对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点的横坐标，为75分，故B正确；对于C，满意度计分的平均分约为(55×0.01＋65×0.015＋75×0.035＋85×0.03＋95×0.01)×10＝76.5，故C错误；对于D，前两组的频率之和为0.25，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确．故选C．]题号135246879101112√二、多项选择题7．(2025·黄山期末)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是(

)A．图1的平均数＝中位数＝众数B．图2的众数<平均数<中位数C．图2的众数<中位数<平均数D．图3的中位数<平均数<众数题号135246879101112√AC

[题图1的频率分布直方图是对称的，平均数＝中位数＝众数，A正确；题图2的众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；题图3的左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误．故选AC．]题号135246879101112√8．(2025·汕头期末)在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是(

)A．平均说来甲队比乙队防守技术好B．甲队比乙队技术水平更稳定C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好D．乙队很少不失球题号135246879101112√√ACD

[由甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少，所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确；甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，所以甲队的起伏较大，故B错误；题号135246879101112甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，所以甲队的表现时好时坏，故C正确；乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小，说明乙队的表现较稳定，经常失球，故D正确．故选ACD．]题号1352468791011129．(2026·金华模拟)饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义．上海某高中随机调查了该校某两个班(A班，B班)5月份每天产生饮料瓶的数目(单位：个)，并按[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分组，分别