79　第九章　第72课时　列联表与独立性检验

第九章统计与成对数据的统计分析第72课时列联表与独立性检验[考试要求]

1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用．理法先行·题练固本知识点1

2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为XY合计Y＝y1Y＝y2X＝x1aba＋bX＝x2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d

(2)基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828[常用结论]1．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大．2．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．1．(人教B版选择性必修第二册P120练习AT2改编)如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(

)A．27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37√xy合计y1y2x1a835x2113445合计b4280A

[a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38．]2．(人教A版选择性必修第三册P139复习参考题8T3)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(

)A．变量x与y不独立B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量x与y独立D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05√C

[因为χ2＝2.974<x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706<2.974<3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1．故选C．]3．(人教A版选择性必修第三册P135习题8.3T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：单位：人性别出生时间合计晚上白天女243155男82634合计325789依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_______的前提下可以认为性别与出生时间有关联．

0.1

考点深研·题型突破考点一

列联表与等高堆积条形图[典例1]

(1)(2025·石家庄期末)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到2×2列联表如下：单位：人班级数学成绩合计优秀非优秀甲班10b

乙班c30

合计

105

√(2)(多选)(2025·银川四模)某市地铁5号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁5号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析了其年龄和性别结构，并制作出如图所示的等高堆积条形图，根据图中信息，下列结论正确的是(

)A．样本中男性比女性更关注地铁5号线全线开通B．样本中多数女性是35岁及以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多D．样本中35岁及以上的人对地铁5号线全线开通的关注度更高√√√

班级数学成绩合计优秀非优秀甲班104555乙班203050合计3075105

(2)设等高堆积条形图对应2×2列联表如下：单位：人性别年龄合计35岁及以上35岁以下男性aca＋c女性bdb＋d合计a＋bc＋da＋b＋c＋d根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即a>b，35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d，根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即a>c，女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即b>d．对于选项A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，故A正确；对于选项B，35岁及以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，故B正确；对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确；对于选项D，35岁及以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，故D正确．故选ABD．][多维变迁](2025·平凉期末)假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(

)A．a＝2，b＝3，c＝3，d＝7B．a＝1，b＝4，c＝2，d＝8C．a＝1，b＝4，c＝4，d＝1D．a＝9，b＝1，c＝4，d＝1√

考点二

χ2计算与独立性检验[典例2]

某景区自从实行门票打折，开展沉浸式体验活动，推出特色美食等措施后，旅游人数明显增加，为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下列联表．单位：人性别满意度合计满意不满意男100

150女

30

合计

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[解]

由题意可得2×2列联表如下．单位：人性别满意度合计满意不满意男10050150女203050合计12080200

易错提醒：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．【教用·通性通法】如果χ2>xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X与Y有关系”．[多维变迁]某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品合计甲车间2624050乙车间70282100合计96522150填写如下列联表：单位：件车间产品合计优级品非优级品甲车间

乙车间

合计

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828[解]

填写列联表如下：单位：件车间产品合计优级品非优级品甲车间262450乙车间7030100合计9654150

【教用·备选题】1．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表：单位：只药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

2．(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.225.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.334.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.340.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.516.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.221.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.232.3 36.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：单位：g组别体重增加量合计<m≥m对照组

试验组

合计

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635

列联表如下：单位：g组别体重增加量合计<m≥m对照组61420试验组14620合计202040

1．(链接考点一)(2025·沈阳期中)为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如下，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大(

)单位：人近视情况性别合计男女近视240200440不近视m5050＋m合计240＋m250490＋mA．40 B．60C．100 D．240√B

[依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，则240×50＝200m，解得m＝60．故选B．]2．(链接考点一)(多选)(2026·揭阳榕城区模拟)为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生(其中男生60人，女生40人)，调查他们每日使用手机的时间．若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾．根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有(

)

√√AC

[选项A，根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为60∶40＝3∶2，用样本估计总体，则全校男生和女生人数之比为3∶2，故选项A正确；选项B，样本中男生有20%手机成瘾，女生有40%手机成瘾，比例关系差异很大，所以手机是否成瘾与学生的性别很大概率上有关系，但不能说“一定与学生的性别有关系”，故选项B错误；选项C，由题意知，男生中有60×20%＝12(人)手机成瘾，女生中有40×40%＝16(人)手机成瘾，即在抽取的100人样本中，有28人手机成瘾，

3．(链接考点二)(2025·连云港期末)为了鉴定某新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝

______________．

单位：只接种情况发病情况合计发病未发病接种32730未接种171330合计204060

14.7

题号13524687√一、单项选择题1．(人教A版选择性必修第三册P134练习T4改编)某学习小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知χ2≥6.635＝x0.01，则下列判断正确的是(

)A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.01C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别无关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”课时作业(七十二)列联表与独立性检验题号13524687D

[因为χ2＝6.748>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学成绩优秀与性别有关，所以ABC错误．故选D．]√题号135246872．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(

)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．变量Ⅰ与Ⅱ相关B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1题号13524687B

[零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关．因为χ2＝2.954>2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个推断犯错误的概率不超过0.1．故选B．]题号135246873．(2026·湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：单位：人性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男a＝20ba＋b女cd＝50c＋d合计a＋c80110题号13524687

α0.10.050.0250.010.001xα2.7063.8415.0246.63510.828题号13524687

√题号13524687

√题号13524687二、多项选择题4．(2025·大同期中)可用于推断两个分类变量之间是否有关联的是(

)A．散点图 B．等高堆积条形图C．列联表 D．χ2独立性检验√√题号13524687BCD

[散点图不适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以A选项错误；而等高堆积条形图、列联表、χ2独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以BCD选项正确．故选BCD．]题号13524687

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828题号13524687题号13524687

√√√题号13524687

题号13524687对于选项C，由题意可得列联表如下：单位：人性别锻炼情况合计不经常经常女生40100140男生60100160合计100200300题号13524687

性别锻炼情况合计不经常经常女生80200280男生120200320合计200400600题号13524687

题号13524687三、填空题6．(2025·酒泉期末)下面是一个2×2列联表：xy合计y1y2x1a2170x25c30合计bd100则由上表可得a＋c＝

______________．

74

题号1352468774

[由题意知a＋21＝70，c＋5＝30，可得a＝49，c＝25，所以a＋c＝74．]题号135246877．(2025·孝感期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据：单位：人性别疗效合计无效有效男性患者153550女性患者64450合计2179100题号13524687零假设为H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈______________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于______________．

α0.10.050.01xα2.7063.8416.6354.882

0.05题号13524687

题号13524687四、解答题8．(2025·临沂期末)为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体情况如表格：单位：人性别了解安全知识的程度得分不超过90分得分超过90分男生10λ女生tμ题号13524687

α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828题号13524687

题号13524687根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关．题号13524687√一、单项选择题1．(2025·商丘期末)某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为(

)A．30 B．25C．40 D．35阶段检测(十五)第69～72课时题号13524687

√题号13524687

题号13524687

题号135246873．(2026·合肥模拟)若样本数据2x1＋3，2x2＋3，…，2x8＋3的方差为32，则数据x1，x2，…，x8的方差为(

)A．16 B．8C．13 D．5√

题号135246874．(2026·新余模拟)某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示：

第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月单价x/元66.577.58销量y/万瓶9085807570√题号13524687

题号13524687

题号13524687二、多项选择题5．某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(

)题号13524687单位：人性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生aba＋b男生cdc＋d合计a＋cb＋d100题号13524687

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828√题号13524687A．表中a＝12，c＝30B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数多C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异√√题号13524687

题号13524687单位：人性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生122840男生303060合计4258100题号13524687

题号13524687依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确；对于D，由C项知χ2≈3.941<6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD．]题号13524687三、填空题6．(2026·武汉东西湖区校级模拟)随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的______________(填百分数)．

13.5%

题号1352468713.5%

[设2025年到该地旅游的游客总人数为a，由扇形图可知，游客中青年人所占百分比为1－35%－20%＝45%，则游客中青年人的人数为0.45a，其中选择自助游的青年人的人数为0.45a×0.3＝0.135a，所以估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%．]题号13524687四、解答题7．(北师大版选择性必修第