81　第十章　第74课时　二项式定理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第74课时二项式定理[考试要求]

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．理法先行·题练固本

k＋1知识点2

二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即__________增减性二项式系数的最大值

递增递减

2n2n-1

√

√

3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(

)A．252x3 B．210x4C．252x5 D．210x6√

0

考点深研·题型突破

√

[母题探究]1．(变结论)本例条件不变，展开式共______________项．

7

[由题意可得，展开式共有7项．]72．(变结论)本例条件不变，展开式的中间项为______________．

－160x-3

3．(变结论)本例条件不变，二项展开式中x3的系数为__________．

－124．(变结论)本例条件不变，展开式中的有理项共______________项．

7

[由6－3k为整数，k∈N，k≤6，可知有理项共有7项．]7

√√

通性通法：(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

√√√

将等式(1－2x)2

026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2

025x2

025＋a2

026x2

026两边同时求导可得，2

026×(－2)×(1－2x)2

025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2

025a2

025x2

024＋2

026a2

026x2

025，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2

025a2

025＋2

026a2

026＝4

052，故D正确．故选BCD．][多维变迁]在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数与第3项的系数；(2)二项式系数的和；(3)各项系数的和；(4)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(5)奇数项系数和与偶数项系数和；(6)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

√

－8064

－15360x4

【教用·备选题】(湘教版选择性必修第一册P201习题4.4T4)在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．

考点三

二项式定理的应用[典例5]

(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，则a＝(

)A．0 B．1C．11 D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(

)A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.20√√

通性通法：(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．教材拓展15杨辉三角杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，它是由二项式系数组成的三角形数表(如图)，它将二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散的数与形的结合．杨辉三角的常用性质如下表：序号语言描述公式表示1对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等2递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和3第n行奇数项之和与偶数项之和相等序号语言描述公式表示4第n行数的和为2n5第n行各数平方和等于第2n行中间的数6自腰上的某个1开始平行于左腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数[典例6]

(多选)(2025·西安期末)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示．下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是(

)

√√

√

2．(链接考点二)(多选)(2025·郑州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(

)A．展开式中的二项式系数之和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小√√√ACD

[由二项式系数的性质知，(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2

048，故A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确．故选ACD．]

√√√

4．(链接考点三)用二项式定理估算1.0110＝______________．(精确到0.001)

1.105

题号135246879101112√

课时作业(七十四)二项式定理题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(

)A．74 B．121C．－74 D．－121题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√5．(2026·德阳模拟)已知(1＋ax)(2－x)4(a∈R)的展开式中x4的系数为17，则实数a的值为(

)A．－2 B．－1C．1 D．2题号135246879101112

题号135246879101112√6．(2026·成都模拟)已知(3x＋2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(

)A．a0＝210B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝－1C．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1D．展开式中二项式系数最大的项为第5项题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√8．(2026·无锡模拟)若f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则(

)A．f(x)可以被(x－1)3整除B．f(x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除C．f(30)被27除的余数为6D．f(29)的个位数为6题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112三、填空题10．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为_______．

题号135246879101112

－20

题号135246879101112

1260

题号135246879101112

5

题号135246879101112

题号135246879101112√一、单项选择题

1．(2025·吕梁月考)如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为(

)A．5 B．7C．8 D．12阶段检测(十六)第73～74课时题号135246879101112C

[要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为2×1＋2×3＝8．故选C．]√2．(2026·如皋模拟)已知(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2的值为(

)A．60 B．80C．84 D．120题号135246879101112

题号135246879101112√3．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A．12种 B．24种C．36种 D．48种题号135246879101112题号135246879101112

√4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A．30种 B．60种C．120种 D．240种题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√6．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)A．120种 B．60种C．30种 D．20种题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√8．(2025·厦门月考)用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是(

)A．可组成300个不重复的四位数B．可组成156个不重复的四位偶数C．可组成120个能被5整除的不重复四位数D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301题号135246879101112√√

题号135246879101112三、填空题9．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为______________．

题号13524687910111210

题号1352468