11　第二章　第10课时　函数的奇偶性、周期性

第二章

函数第10课时函数的奇偶性、周期性[考试要求]

1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用．理法先行·题练固本知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_____对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称f(－x)＝－f(x)原点知识点2函数的周期性(1)周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_______________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

1．(多选)(苏教版必修第一册P124例1)给出下列函数，其中是偶函数的有(

)A．f(x)＝x2－1

B．f(x)＝2xC．f(x)＝2|x| D．f(x)＝(x－1)2√√AC

[对于A，函数f(x)＝x2－1的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f

(x)，所以函数f(x)＝x2－1是偶函数；对于B，函数f(x)＝2x的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x是奇函数；对于C，函数f(x)＝2|x|的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝2|x|是偶函数；对于D，函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R．因为f(1)＝0，f(－1)＝4，所以f(1)≠f(－1)，因此，函数f(x)＝(x－1)2不是偶函数．]2．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为____________________．(－2，0)∪(2，5]

[由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0．综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．](－2，0)∪(2，5]3．(人教B版必修第一册P140复习题B组T5)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x，求x＜0时f(x)的解析式．[解]

∵当x＜0时，－x＞0，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x．∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x2－2x，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x．4．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2027)＝________．

√√√

考点深研·题型突破

(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数．

通性通法：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f

(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f

(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

√

考点二函数奇偶性的应用[典例2]

(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝－2x－x5，则不等式f(x－1)＋f(5－3x)＜0的解集是____________．(－∞，2)

[因为f(x)＝－2x－x5是单调递减的奇函数，又f(x－1)＋f(5－3x)＜0，所以f(x－1)＜－f(5－3x)＝f(3x－5)，则x－1＞3x－5，即x＜2，所以不等式的解集为(－∞，2)．](－∞，2)

[母题探究]1．(综合变式)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝－2x－x5，则当x<0时，f(x)＝________．－2x－x5

[当x<0时，－x>0．f(x)＝－f(－x)＝－[－2(－x)－(－x)5]＝－2x－x5．]－2x－x52．(综合变式)已知函数f(x)＝－2x－x5－

b＋2为[－7a，a＋6]上的奇函数，则a－b＝________．－1

[因为函数f(x)＝－2x－x5－b＋2为[－7a，a＋6]上的奇函数，所以－7a＋a＋6＝0且f(0)＝0，所以a＝1且b＝2，故a－b＝－1．]－1思维建模：脱壳法解不等式模型第1步判断函数的奇偶性与单调性．第2步脱壳：

若为奇函数，则直接脱壳，减变增不变(如例2中不等号变向，多维变迁2不等号方向不变)．【教用·通性通法】(1)求奇函数的解析式时，忽略x＝0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x＝0处没有定义，要么在x＝0处的函数值为0，即f(0)＝0．(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件．(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．[多维变迁]1．(2025·沧州三模)设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(

)A．27 B．28C．29 D．30√B

[根据题意，函数y＝f(x)－x2是奇函数，则[f(4)－16]＋[f(－4)－16]＝0，又由f(4)＝9，则f(－4)＝23，则g(－4)＝f(－4)＋5＝28．故选B．]2．(2025·河池二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(a－1)＞f(2)，则a的取值范围是(

)A．(3，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)√C

[由于f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立，不等式f(a－1)＞f(2)可以转化为f(|a－1|)＞f(2)．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以|a－1|＞2，解得a＜－1或a＞3．故选C．]

√

√

2

考点三函数的周期性及应用[典例3]已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，且f(3)＝－1，则f(2025)＝(

)A．－1 B．0C．1 D．2√C

[根据题意可知，f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)，∴f(x)是周期为4的周期函数，f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(3)＝1．故选C．]通性通法：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量由大化小．[多维变迁]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．(1)当x∈[2，4]时，f(x)＝__________；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝________．x2－6x＋8

1

(1)x2－6x＋8

(2)1

[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)的最小正周期是4．当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f

(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．]

√

[考题探源]1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式．

通性通法：综合应用奇偶性与周期性的解题技巧利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值转化到已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化．1．(链接考点一)(2026·广州模拟)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|√A

[y＝x3是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；选项B，C，D是偶函数，不正确．故选A．]

√

3．(链接考点二)(2026·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－x2，则f(－2)＝(

)A．－6 B．6C．－2 D．2√D

[根据题意，当x＞0时，f(x)＝x－x2，则f(2)＝2－4＝－2，又由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝2．故选D．]

√

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·北京西城区期末)下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是(

)A．f(x)＝x3－x B．f(x)＝x3＋1C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝x3＋x2课时作业(十)函数的奇偶性、周期性题号135246879101112C

[对于A，f(0)＝f(1)＝0，显然不单调，A错误；对于B，f(x)＝x3＋1不是奇函数，B错误；对于C，f(x)＝x3＋x为奇函数，且y＝x，y＝x3在R上单调递增，即f

(x)单调递增，C正确；对于D，f(x)＝x3＋x2既不是奇函数，也不是偶函数，D错误．故选C．]√2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f(1)＝2，则f

(27)＝(

)A．2 B．0C．－2 D．－4题号135246879101112C

[因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(27)＝f(7×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2．故选C．]√3．(2025·郑州月考)已知f(x)＝(2025＋m)x5－x4为偶函数，则实数m＝(

)A．0 B．1C．－2025 D．－2024题号135246879101112C

[根据题意，f(x)＝(2025＋m)x5－x4，其定义域为R，若f(x)是偶函数，得f(x)－f(－x)＝(2025＋m)x5－x4－[(2025＋m)(－x)5－(－x)4]＝0恒成立，变形可得2025＋m＝0，故m＝－2025．故选C．]题号135246879101112√4．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2027)＝k，则f(－2027)＝(

)A．k B．－k

C．1－k D．2－k题号135246879101112D

[法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，易知g(x)是奇函数，从而f(2027)＝g(2027)＋1，f(－2027)＝g(－2027)＋1＝－g(2027)＋1．又因为f(2027)＝k，所以g(2027)＝k－1，从而f(－2027)＝－(k－1)＋1＝2－k．故选D．法二：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，所以f(－2027)＋f(2027)＝2．又因为f(2027)＝k，所以f(－2027)＝2－k．故选D．]题号135246879101112√5．(2026·蚌埠模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，则(

)A．f(f(2))＞f(f(3)) B．f(g(2))＜f(g(3))C．g(g(2))＞g(g(3)) D．g(f(2))＜g(f(3))题号135246879101112D

[∵f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，0]上单调递增．∴f(3)＜f(2)，g(3)＜g(2)＜0，但无法判断f(2)，f(3)的正负，∴g(f

(2))＜g(f

(3))，故选D．]题号135246879101112√6．(2025·淮安期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为偶函数，f(x)－1是奇函数且f(1)＝0，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＝(

)A．2024 B．2025C．2026 D．2027题号135246879101112C

[根据题意，函数f(x)－1为奇函数，则有f(x)＋f(－x)＝2，令x＝0，可得f(0)＝1，而f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)，则f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)＋f(x－2)＝2，f(x－2)＋f(x－4)＝2，所以f(x)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，因为f(1)＋f(3)＝2，f(0)＋f(2)＝2，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f

(3)]＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝506×4＋2＋0＝2026．故选C．]题号135246879101112√

题号135246879101112√CD

[利用奇函数的定义，首先定义域需关于原点对称，排除选项A；函数f

(x)是奇函数，需满足f

(－x)＝－f

(x)，排除选项B．故选CD．]√8．(苏教版必修第一册P126练习T4改编)对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是(

)A．若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数B．若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数C．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)是R上的增函数D．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)不是R上的减函数题号135246879101112√BD

[A选项，若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(