24　第三章　第23课时　函数单调性的应用

第三章一元函数的导数及其应用第23课时函数单调性的应用[考试要求]

1．会根据函数的单调性求参数的范围．2．会利用函数的单调性解不等式，比较函数值的大小．考点深研·题型突破考点一

利用单调性求参数范围

[典例1]

若函数f(x)＝kx－ln

x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(

)A．(－∞，－2]

B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)√

[母题探究]1．(变条件)本例中若f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，则实数k＝______________．

1

2．(变条件)本例中若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是______________．

(－∞，0]

3．(变条件)本例中若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则实数k的取值范围是______________．

(0，1)

4．(变条件)本例中若f(x)在(1，＋∞)上存在单调递减区间，则实数k的取值范围是______________．

(－∞，1)

5．(变条件)本例中若f(x)在(1，2)内单调，则实数k的取值范围是__________________________．

通性通法：根据函数单调性求参数的方法(1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(2)函数在区间(a，b)内存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间内存在解集．(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内不单调，则转化为f'(x)＝0在(a，b)内有解(需验证解的两侧导数是否异号)．

√

√

考点二

利用单调性解不等式[典例2]

(2025·上饶期末)已知函数f(x)＝x－sin

x，且f(log2m)＋f

(－1)<0，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，2)

B．(0，2)C．(1，2)

D．(2，＋∞)√B

[因为f(x)＝x－sin

x的定义域为R，所以f'(x)＝1－cos

x≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增，又根据f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin

x＝－f(x)，因此f(x)为奇函数，又f(log2m)＋f(－1)<0⇒f(log2m)<－f(－1)＝f(1)，则log2m<1，解得m∈(0，2)．故选B．]通性通法：利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性，易错之处是忽视函数的定义域．[多维变迁](2025·潮州期末)已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数，且∀x∈R，f'(x)>2，f(2)＝3，则不等式f(x)>2x－1的解集为(

)A．(－∞，2)

B．(2，＋∞)C．(－∞，3)

D．(3，＋∞)√B

[设g(x)＝f(x)－2x＋1，因为f(2)＝3，所以g(2)＝f(2)－3＝0，g'(x)＝f'(x)－2，因为f'(x)>2，所以g'(x)>0，所以函数g(x)＝f(x)－2x＋1为R上的增函数，因此由f(x)>2x－1⇒g(x)>0＝g(2)⇒x>2．故选B．]考点三

利用单调性比较大小[典例3]

(2025·北京延庆区期末)已知函数f(x)的导函数f'(x)＝(x2＋1)ex，则下列选项正确的是(

)A．f(2)<f(e)<f(π)

B．f(π)<f(e)<f(2)C．f(e)<f(2)<f(π)

D．f(2)<f(π)<f(e)√

通性通法：利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．

√

1．(链接考点三)(2025·南阳期末)已知函数f(x)＝x－sin

x，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系是(

)A．f(1)>f(2)>f(3)

B．f(1)>f(3)>f(2)

C．f(3)>f(1)>f(2)

D．f(3)>f(2)>f(1)√D

[因为f'(x)＝1－cos

x≥0，所以f(x)在R上单调递增，因此f(3)>f(2)>f(1)．故选D．]2．(链接考点一)(2025·三明期末)若函数f(x)＝x2＋2x＋aln

x在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(

)A．[0，＋∞)

B．(－∞，0]C．[－4，＋∞)

D．(－∞，－4]√

√

4．(链接考点一)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是______________．

[－3，0]

[f'(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．][－3，0]题号135246879101112√一、单项选择题1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f(x)＝2x－sin

x，则下列结论正确的是(

)A．f(2.7)<f(π)<f(e)B．f(π)<f(e)<f(2.7)C．f(e)<f(2.7)<f(π)D．f(2.7)<f(e)<f(π)课时作业(二十三)函数单调性的应用题号135246879101112D

[f'(x)＝2－cos

x，因为cos

x∈[－1，1]，所以f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为2.7<e<π，所以f(2.7)<f(e)<f

(π)．故选D．]√2．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT1改编)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f'(x)≥0，则必有(

)A．f(0)＋f(2)<2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

D．f(0)＋f(2)>2f(1)题号135246879101112

题号135246879101112√3．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4改编)若函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(

)A．[3，＋∞)

B．(－∞，3)C．(－∞，0)∪(0，3)

D．(－∞，0)题号135246879101112

题号135246879101112√4．(2025·眉山期末)已知f(x)＝x3－ax在[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．(12，＋∞)

B．[12，＋∞)C．(－∞，12)

D．(－∞，12]题号135246879101112D

[f'(x)＝3x2－a，若f(x)在[2，3]上单调递增，则f'(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，当x∈[2，3]时，12≤3x2≤27，所以只需a≤12即可．故选D．]√5．(2025·济南期末)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)>3，f(2)＝6，则f(x)>3x的解集为(

)A．(－∞，0)

B．(－∞，2)C．(0，＋∞)

D．(2，＋∞)题号135246879101112D

[令g(x)＝f(x)－3x，因为f'(x)>3，所以g'(x)＝f'(x)－3>0，所以g(x)在R上单调递增，因为f(2)＝6，所以g(2)＝f(2)－6＝0，由f(x)>3x可得f(x)－3x>0，即g(x)>g(2)，所以x>2．故选D．]题号135246879101112√6．(2025·景德镇期末)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式x·f'(x)<0的解集为(

)A．(－1，0)∪(2，5)

B．(－1，2)∪(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(2，5)

D．(－∞，－1)∪(0，5)题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√BD

[由题图可知，导函数f'(x)的图象在x轴下方，即f'(x)<0，故函数f(x)为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的大致图象如图所示．A中，f(