13　第二章　第12课时　抽象函数(进阶课)

第二章函数*第12课时抽象函数(进阶课)[总体概览]1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．

√(2)(多选)(2025·昆明期中)对于任意的x∈R，函数f(x)满足f(x＋1)－f(x－1)＝f(2)＋4x－6，f(－2)＝6，则下列结论正确的是(

)A．f(0)＝2B．f(2)＝－6C．f(2025)－f(2023)＝8096D．f(6)＝38√√√

因为f(2)＝6，则f(x＋1)－f(x－1)＝4x，令x＝2024，则f(2025)－f(2023)＝4×2024＝8096，故C正确；又f(6)＝f(4)＋4×5＝f(4)＋20，f(4)＝f(2)＋4×3＝18，则f(6)＝18＋20＝38，故D正确．故选ACD．]易错提醒：赋值法解答抽象函数的关键是选取适当的特殊值进行求解．【教用·备选题】1．(2025·赣州二模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝(

)A．－5 B．0C．2 D．5√B

[根据题意，函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－1)＝－f(1)且f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，必有f(－1)＝0，则有f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝0．故选B．]

√

所以令y＝x，可得2f(x)＝f(x2)，所以f(2025)＝f(92×52)＝f(92)＋f(52)＝2f(9)＋2f(5)＝2[f(9)＋f(5)]＝－12．故选D．]

√

通性通法：对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．

√√√

【教用·备选题】1．若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0，则(

)A．f(x)是奇函数，且在R上是增函数B．f(x)是奇函数，且在R上是减函数C．f(x)是奇函数，但在R上不是单调函数D．无法确定f(x)的单调性和奇偶性√B

[令x1＝x2＝0，则f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，则f(－x)＋f(x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数．设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，故f(x2)<f(x1)，所以函数f(x)在R上是减函数．故选B．]2．(2025·上海闵行区期末)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上是严格增函数，f(1)＝0，则不等式(x－1)f(x)＜0的解集是

____________．(－1，0)

[因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上是严格增函数，根据奇函数的性质可得，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(0)＝0，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0，(－1，0)

题号135246879

√课时作业(十二)抽象函数(进阶课)题号135246879

√题号1352468792．(2025·鞍山市立山区期末)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，则下列说法一定正确的是(

)A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数C．f(x－1)是奇函数 D．f(x)＋1是偶函数题号135246879A

[因为对任意x1，x2∈R，有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，所以f(0)＝0，f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)－f(－1)＝0，所以f(－1)＝0，所以f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以A选项正确；而其他选项不一定成立，故选A．]题号135246879

√题号135246879

√题号1352468794．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f

(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(

)A．f(10)>100 B．f(20)>1000C．f(10)<1000 D．f(20)<10000题号135246879B

[因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2．又f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，题号135246879f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1597>1000，则可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B．]√题号135246879

√√题号135246879ABD

[A选项，令x＝y＝0，则f(0)－[f(0)]3＝2f(0)，∴f(0){[f(0)]2＋1}＝0，故f(0)＝0，故A正确；B选项，令y＝－x，则f(0)－f(0)f(x)f(－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)的定义域为R，∴f(x)为奇函数，故B正确；C选项，令x＝y＝2，则f(4)－f(4)[f(2)]2＝2f(2)，题号135246879

题号135246879

√√题号135246879

题号135246879三、填空题7．(2025·萍乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x，y均有f(xy)＝yf(x)，且2f(2)＝f(1)＋6，则f(2027)＝________．4054题号135246879

题号135246879

(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)题号135246879

题号135246879

题号135246879

题号135246879

题号135246879[解]

(1)根据题意，函数f(x)在R上满足f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(0)－1，令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)f(0)＋f(0)－1，故[f(0)]2＝1，可得f(0)＝±1，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(0)＋f(0)－1，当f(0)＝－1时，则f(x)＝－f(x)－2，即f(x)＝－1，不符合题意，舍去，故f(0)＝1．题号135246879(2)f(x)在R上单调递增，证明：由(1)的结论，f(0)＝1，则f(x＋y)＝f(x)f(y)，由f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)，又当x＞0时，0＜f(x)＜1；当x＜0时，f(x)＞1，分2种情况讨论：当x1＞x2＞0时，即0＜f(x1－x2)＜1，0＜f(x1)＜1，0＜f(x2)＜1，所以f(x1)＝f(x1－x2)f(x2)＜f(x2)，即f(x1)－f(x2)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；题号135246879

题号135246879101112√一、单项选择题

1．已知函数y＝f(x)表示为

x[－2，0)0(0，2]y10－2设f(1)＝m，f(x)的值域为M，则(

)A．m＝－2，M＝{－2，0，1}B．m＝－2，M＝{y|－2≤y≤1}C．m＝1，M＝{－2，0，1}D．m＝1，M＝{y|－2≤y≤1}阶段检测(二)第7～12课时题号135246879101112A

[由函数关系知f(1)＝－2，即m＝－2，函数的值域为{1，0，－2}，故选A．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112三、填空题9．(2025·长沙市开福区期末)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x，则f(0)＋f(－2)＝________．

题号135246879101112－4－4

[根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又由当x＞0时，f(x)＝2x，则f(2)＝22＝4，则f(－2)＝－f(2)＝－4，故f(0)＋f(－2)＝－4．]

题号135246879101112(3，5)

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112题号13