03　第一章　第2课时　常用逻辑用语

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2课时常用逻辑用语[考试要求]

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．理法先行·题练固本知识点1充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的____________条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件_____________p是q的充要条件______p是q的__________________条件p⇏q且q⇏p充分必要充分不必要p⇏q且q⇒pp⇔q既不充分也不必要知识点2全称量词与存在量词(1)全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题存在量词命题量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题形式∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定__________________，是______量词命题__________________，是______量词命题∃x∈M，¬p(x)存在∀x∈M，¬p(x)全称(2)常见词语的否定词语是都是大于小于词语的否定______________________________________

词语且至少有n个至多有一个所有x都成立词语的否定_______________________________________________不是不都是小于或等于大于或等于或至多有n－1个至少有两个存在一个x不成立[常用结论]从集合的角度理解充分必要性若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A

B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．1．(北师大版必修第一册P17例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(2)p：a＝b，q：|a|＝|b|；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解]

(1)因为命题“若A⊆B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A⊆B”也为真命题，所以p是q的充要条件．(2)因为“a＝b”⇒“|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．2．(人教A版必修第一册P30例4(3))命题“有一个偶数是素数”的否定是_____________________________．任意一个偶数都不是素数3．(人教B版必修第一册P28练习BT4(1))“∀x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题，则实数a的取值范围是______________．[1，＋∞)

[∵x2≥1，即x≥1或x≤－1，且原命题是真命题，∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．][1，＋∞)4．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T4(3))x∈A是x∈A∩B的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√B

[若x∈A，但x不一定同时属于集合B，即由“x∈A”推不出“x∈A∩B”，所以“x∈A”不是“x∈A∩B”的充分条件；如果x∈A∩B，那么x既在集合A中又在集合B中，所以一定有x∈A，即由“x∈A∩B”可以推出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件．故选B．]考点深研·题型突破考点一充分条件、必要条件及充要条件的判断[典例1]

(1)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√(2)(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(

)A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4√√(1)B

(2)BC

[(1)由|x－2|＜1可得－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3．所以由|x－2|＜1推不出1＜x＜2，故充分性不成立，由1＜x＜2可推出|x－2|＜1，故必要性成立，所以“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的必要不充分条件．(2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，方程没有实数根，故A错误；对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2<a<6，因为{a|－2＜a＜4}

{a|－2＜a＜6}，故B正确；

易错提醒：厘清一个关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意上述两种说法的不同．【教用·通性通法】充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．考点二充分条件、必要条件及充要条件的应用[典例2]已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[母题探究]1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

2．(变条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

通性通法：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．考点三全称量词命题与存在量词命题及其否定[典例3]

(2025·郑州期末)已知命题p“∃x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”，若p为假命题，则实数a的最小值是(

)A．－1 B．0C．1 D．3√D

[因为p为假命题，所以命题¬p“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，即x2－2x－a≤0在x∈[0，3]上恒成立，即a≥x2－2x在x∈[0，3]上恒成立，记f(x)＝x2－2x，x∈[0，3]，则a≥f(x)max，因为f(x)＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f

(x)max＝f(3)＝3，所以a≥3，所以实数a可取的最小值是3．故选D．]易错提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．(2)直接由命题的真假不易求参数的范围，可利用等价命题求参数的范围．【教用·通性通法】含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，一是改变量词符号，二是对结论进行否定，即“改变量词，否定结论”．(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．

√

2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(

)A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题√B

[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．]1．(链接考点一)(人教A版必修第一册P23习题1.4T2(1)改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√A

[由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立．故选A．]2．(链接考点一)(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√B

[由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．]3．(链接考点一、二、三)(多选)(2025·连云港海州区开学考试)下列说法中正确的有(

)A．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2＜0，则命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0B．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件C．命题“∀x∈Z，x2＞0”是真命题D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件√√

4．(链接考点三)(2025·常州期中)若命题∃x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题，则实数a的取值范围是______________．

[－2，＋∞)题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·邹城市月考)命题“∀x＞0，ex＋1≤3x”的否定是(

)A．∃x≤0，ex＋1＞3xB．∃x＞0，ex＋1≤3xC．∃x＞0，ex＋1＞3xD．∀x＞0，ex＋1＞3x课时作业(二)常用逻辑用语题号135246879101112C

[命题“∀x＞0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，根据全称量词命题的否定可得原命题的否定为∃x＞0，ex＋1＞3x．故选C．]√2．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题号135246879101112C

[根据幂函数的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C．]题号135246879101112√3．下列说法正确的是(

)A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1，3]题号135246879101112

题号135246879101112√4．(2025·武汉开学考试)若命题“∀x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，则(

)A．m≤0 B．m≤4C．m＞0 D．m＞4题号135246879101112C

[因为命题“∀x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，则∃x∈[0，2]，x2－m＜0”是真命题，即∃x∈[0，2]，m＞x2，又0≤x2≤4，则当x∈[0，2]时，m＞(x2)min＝0．故选C．]题号135246879101112√5．(2025·长春四模)已知命题p：∀x∈R，|x|＞0，命题q：∃x＞0，x3＝x，则(

)A．p和q都是真命题B．p和¬q都是真命题C．¬p和q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题题号135246879101112C

[对于命题q，x3＝x，解得x＝0，x＝－1或x＝1＞0，所以q：∃x＞0，x3＝x，为真命题，¬q为假命题；对于命题p，当x＝0时，|x|＝0，所以p：∀x∈R，|x|＞0为假命题，¬p为真命题；所以¬p和q都是真命题．故选C．]题号135246879101112√6．(2025·重庆月考)已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(

)A．(4，＋∞) B．[8，＋∞)C．(－∞，6] D．(－∞，6)题号135246879101112

题号135246879101112√二、多项选择题7．(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p：∃x∈N，6x2－7x＋2≤0，下列说法正确的是(

)A．该命题是全称量词命题，且为真命题B．该命题是存在量词命题，且为假命题C．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0D．¬p：∀x∉N，6x2－7x＋2>0题号135246879101112√

题号135246879101112√8．(2025·宜春期末)(x－2)(x＋2)＞0的一个充分不必