第三章 控制系统频域建模

第三章控制系统频域建模（I）

3.1频率特性基本概念

3.2典型环节的频率特性

3.3控制系统的开环频率特性

*3.4数学模型的数学确定方法

2第三章控制系统频域建模3-1频率特性基本概念3

3.1.1频率特性定义解：系统传函为

例：

RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asin

t时，c(t)的稳态输出为多少？若输入为正弦电压r(t)=Asin

t

c(t)的稳态输出：4

5

css(t)1

T

6

③稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了tan-1T，是频率

的函数，称为RC网络的相频特性。（相移）④7由此可见：①网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入电压频率相同。（同频）②稳态输出电压幅值是输入电压幅值的倍，是频率

的函数，称为RC网络的幅频特性。（变幅）

上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的频率特性。8⑤

即把传函中的s用j

代替就可得频率特性。——幅频特性——相频特性

c(t)=A

G(j

)

sin[

t+

G(j

)]G(s)c(t)r(t)1

频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(j

)表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变幅，相移。2幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A(

)表示。

A(

)=

G(j

)

3

相频特性：稳态输出与输入相位差，用

(

)表示。

(

)=

G(j

)4

实频特性：

G(j

)

的实部，用Re(

)表示。

5

虚频特性：

G(j

)的虚部，用Im(

)表示。G(j

)=A(

)ej

(

)=Re(

)+j

Im(

)9几个定义3.1.2频率特性的几何描述

1.极坐标图（幅相频率特性曲线）10

特点是：把频率

看成参变量，当

从0时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上。左图是前面讨论的RC电路的极坐标图。

=1/T

=

=0ImRe0

2.

伯德图（对数频率特性曲线）包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标表示频率

，按对数分度，单位是rad/s。G(j

)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.95410111横轴按频率的对数lg

标尺刻度，但标出的是频率

本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。在

轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如

从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是两倍频程；

=1

=10

23456789每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如

从1到10，2到20，10到100等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程在

轴上对应的长度都相等。20304012

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)。

L(

)=20lgA(

)

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。

(

)=∠G(j

)

13L(

)/dB

(

)/(°)90°90°2020

(rad/s)

(rad/s)

123456102030100

123456102030100

下图是

RC网络G(j

)=1/(1+jT

)，T=0.5时对应的伯德图。

14

L(

)/dB0202-20dB/dec

-90°

(

)/(°)0°3-2典型环节的频率特性1.比例环节其传递函数为

G(s)=K

频率特性为

G(j

)=K

（1）极坐标图

A(

)=K

(

)=

0

15

-90°

(

)/(°)0°

（2）伯德图

L(

)=20lgK

(

)=0

ImRe0K20lgK

L(

)/dB020

(

)=

0

2积分环节频率特性16（2）伯德图

L(

)=20lgA(

)=

20lg

(

)=

90

ImRe0

=0

=

（1）极坐标图

(

)=

90

90°

(

)/(°)0°

20dB/dec

L(

)/dB0201103微分环节频率特性G(j

)=j

(1)极坐标图

A(

)=

(

)=

90

(2)伯德图

L(

)=20lgA(

)=20lg

(

)=90

17

由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，L(

)和

(

)仅相差一个符号。因此，伯德图是对称于

轴的。ImRe0

=0

=

90°

(

)/(°)0°

L(

)/dB02010120dB/dec4惯性环节频率特性为18（1）极坐标图实部与虚部表达式为：其模角表达式为：ImRe0

=

=01（2）伯德图对数幅频特性19

因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于

T=1或

=1/T。频率1/T

称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/T

L(

)〔1〕当

1/T时，L(

)

20lg1=0

20dB/dec〔2〕当

1/T时，L(

)

20lg

T20如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB

1dB

2dB

3dB

4dB用渐近线近似表示L(

)，必然存在误差ΔL(

)，ΔL(

)可按以下公式计算：ΔL(

)=L(

)

La()式中，L(

)表示准确值，La(

)表示近似值，有相频特性为：

(

)=

arctan

T

T=0

(

)=0°

T=0.3

(

)=

16.7°

T=0.8

(

)=

38.7°

21

L(

)/dB0201/T

20dB/dec

90

(

)/(°)0

T=1

(

)=

45°

T

(

)=

90°5一阶微分环节频率特性G(j

)=1+j

T

（1）极坐标图22（2)伯德图幅频特性相频特性为

(

)=arctan

T

幅频特性为相频特性

(

)=arctan

T

ImRe0

=0

=

90°

(

)/(°)0°

L(

)/dB0201/T20dB/dec123(1)极坐标图幅频特性为相频特性为6振荡环节频率特性为24G(j0)=1

0

G(j

n)=1/(2

)

90

G(j

)=0180

0ReIm1

=0

值小

值大

n=n

n

n25根据上式可以作出两条渐近线。当

<<

n时，L(

)

0；当

>>

n时，L(

)

20lg

2

/

n2

=

40lg

/

n

。

（2）伯德图幅频特性

L(

)

n

40dB/dec26误差计算公式是：

这是一条斜率为

40dB/dec直线，和零分贝线交于

=

n的地方。故振荡环节的交接频率为

n。

=

n误差值如下：下图为

L(

,

)

的曲线270.1

0.20.41246810

/

n201612840-4-8

=0.05

=10.10.20.30.40.50.60.828相频特性

=0

(0)=0

=

n

(

n)=

90

(

)=

180

由于系统阻尼比取值不同，

(

)在

=

n邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。290.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2由于

(

)随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性30ImRe0

大

(

)/(°)0°

L(

)/dB0

小

=07延迟环节其频率特性为：G(j

)=e

j

幅值为：A(

)=

e

j

=1

相角为：

(

)=

(rad)=

57.3

(

)由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。本节结束第三章控制系统频域建模（II）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@3.3控制系统的频率特性

3.3.1开环极坐标图

1.用幅频特性和相频特性计算做图设开环频率特性为：33式中

分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。例3-1如图所示系统,要求绘制它的幅相曲线。34

解:传递函数为

(

)=

90

arctan

T

其频率特性为35幅相曲线如图

(

)=

90

arctan

T

0123510∞A(

)7.272.2361.030.390.010

(

)(

)

90

135

153.4

161.6

168.7

174.3

1802.开环极坐标图的近似绘制

(1)确定起点(

=0)：精确求出A(0)，

(0)；

(2)确定终点(

=

)：精确求出A(

)，

(

)；

(3)确定曲线与坐标轴的交点：G(j

)=Re(

)+jIm(

)

与实轴的交点：令Im(

)=0

求出

x

代入Re(

x)(4)由起点出发，绘制曲线的大致形状。36

试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性

例3-2已知系统开环传函为（1）

=0，Gk(j0)=k

0

（2）

=

Gk(j

)=0

180

（3）与实轴的交点，当

增加时，

(

)是单调减的，从0

变化到180

，一定与虚轴的负半轴相交于某一点。（建议计算下与实轴的交点）37ImRe0

=0

例3-3已知系统开环传函为38试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性

（1）Gk(j0)=90

（2）Gk(j

)=0

180

（3）与实轴的交点:

当

=0时，实部函数有渐近线为－1，可以先作出渐近线。通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。39开环概略极坐标图如下所示：ImRe0

=0

→

－1例3-4已知系统开环传函为40试绘制系统的开环幅相曲线。解：频率特性为1）Gk(j0)=180

2）Gk(j

)=0270

3）与实轴的交点：

令Im(

)=0

x=0.707Re(

x)=2.67k41ImRe0

=0

→

－2.67k开环概略极坐标图如下所示：

3.3.2

开环伯德图42

开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为

说明：Lk(

)和

k(

)分别都是各典型环节的叠加。

例3-5已知一单位反馈系统，其开环传函为

要求绘制伯德图。43

L(

)/dB0201

20dB/dec105①②③

40dB/dec

20dB/dec

解：开环传函由以下三个典型环节组成：

①比例环节10②积分环节③惯性环节

44

对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。

k(

)=0

90

arctan(0.2

)

-90

(

)/(°)0-180

k(0)=90

k(

)=

180

k(1)=101.3

k(5)=135

k(10)=153.4

1510一般的近似对数幅频曲线特点：(1)最左端直线的斜率为

20NdB/dec，N是积分环节个数;(2)最左端直线或其延长线的分贝值，在

=1处等于20lgk；(3)在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决于典型环节种类。例如，在惯性环节后，斜率减少20dB/dec；而在振荡环节后，斜率减少40

dB/dec。45绘制近似对数幅频曲线的步骤：①在半对数坐标上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。

例3-6

绘制单位反馈系统的开环传函为46试绘制系统的对数幅频曲线。解：将传函化简成标准形式

L(

)/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/dec

c=5

c

幅值穿越频率三频段：低频段、中频段、高频段低频段通常是指所有交接频率之前的区段，由积分环节和开环增益决定。设低频段对应的传递函数为：则对应的对数幅频特性为N为不同值斜率是不同的:N=1，-20dB/dec;N=2,-40dB/dec低频段的高度由对应的来确定。也可由初始段与0dB线的交点来确定低频段的负斜率越大，位置越高，对应的是积分环节数越多和增益越大，闭环系统的稳态精度越好。47

中频段、高频段中频段是指截止频率所在的区段，集中反映了系统的平稳性和快速性，幅值裕度和相角裕度。高频段是指中频段之后的区段，反映了系统的抗干扰能力，即抑制高频信号的能力。48

定义:开环零点与开环极点全部位于s左半