人教版数学九年级上册 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（分层作业,8大知识点） 同步练习 含答案

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识点一直接套用公式求值1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可．【详解】解：一元二次方程中，，则方程的两根之积为．2．（2026·湖北孝感·一模）已知方程的两个根分别是，，则的值是（

）A．5 B． C．3 D．【答案】A【详解】解：∵方程的两个根分别是，，∴．3．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（

）A．5 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,，，，．4．（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，．知识点二简单代数式变形代入求值1．（2026年5月山西阳泉市部分学校中考二模九年级数学试卷）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果．【详解】解：对于一元二次方程，两根满足，在方程中，，，∴，又代入，得2．（25-26八年级下·广西崇左·期中）若，是方程的两个根，则的值为（

）A．6 B． C．10 D．【答案】A【分析】根据根与系数的关系求出的值，即可求出的值．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，∴．3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________．【答案】/【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果．【详解】解：∵，且，，∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，，∴．4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（

）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可．【详解】解：实数，满足，，且，整理第二个等式得，和是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，．知识点二基础逆用与单参计算1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值．【答案】方程的另一个根是0，m的值为0或2【分析】设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求得，再把代入方程求出m的值即可．【详解】解：设方程的另一个根为，∵关于x的方程有一个实数根为，∴，解得，把代入方程得，，解得，，∴方程的另一个根是0，m的值为0或2．2．（2026·四川眉山·一模）已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________【答案】【详解】解：设方程的两根为，，根据根与系数的关系可得，已知其中一个根为，设，则另一个根．3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．【答案】，方程的另一个根为【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值．【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系：，解得，即，方程的另一个根为．4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知：关于的方程．(1)若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根．【答案】(1)(2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识．（1）根据题意得到，即可求出；（2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：∵方程总有两个不相等的实数根，∴，∴；（2）解：∵方程的一个根为3，∴，解得，，当时，原方程化为，解得，，∴另一根为1；当时，原方程化为，解得，∴另一根为9；∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9．知识点一高阶代数式变形求值1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______．【答案】【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公式变形，再代入求值，即可求解．【详解】解：化为一般形式为∵一元二次方程的两个根分别是，，∴∴2．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可．【详解】解：∵，是方程的两根，∴，，∴．3．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果.【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中，∴由根与系数的关系可得，，对所求式子因式分解得将，代入得原式．4．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用．（1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围．（2）问利用完全平方公式变形将转化为，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；（2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，，，，∴，整理得，解得，由（1）得舍去，因此．知识点二含参数结合判别式综合题1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____．【答案】【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解．【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为，∴，，，∴，∵，∴，∴，解得，，∵，∴．2．（2026·湖南娄底·模拟预测）关于的方程的两个实数根为、，若，则_______．【答案】【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式确定的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，整理已知等式后代入两根之和与两根之积，解关于的一元二次方程，最后根据的取值范围舍去不符合题意的解即可得到结果．【详解】关于的方程有两个实数根∴，整理得，，解得：，∵关于的方程的两个实数根为、，∴，，∵，∴，即，∴，整理得，，解得：，，∵，不符合题意，舍去∴．3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若是该方程的两个实数根，且，求的值．【答案】(1)见解析(2)或1【分析】（1）由题意知，，然后作答即可；（2）由题意知，，，由得，则，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程，∴，∴，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，解得或．即的值为或1．4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可；（2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，，；（2）解：，，，，整理得，解得或，，．知识点三根的定义+韦达定理综合1．（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（

）A．2025 B．2026 C．2024 D．2021【答案】A【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可．【详解】∵是方程的根，代入方程得：，整理得．∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴．∴．2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】D【分析】首先根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后将变形后整体代入求解．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根∴，∴∴．3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两个实数根分别是、，则（

）A． B． C．7 D．10【答案】D【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程两根之和的关系计算即可得到结果．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是、，∴，即，∴，∵，∴．4．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知和是关于的方程的两个根，则的值为_____．【答案】【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数的关系求得，，再代值求解即可．【详解】解：∵和是方程的两个解，∴，，∴，∴．知识点一两根非对称式求值1．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（

）A． B．4 C． D．12【答案】A【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值．【详解】解：∵是方程的两个根，∴，，，∴，，∵，∴原式．2．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______．【答案】【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答．【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根，，，，，则，∴．3．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是_________．【答案】2024【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键．由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值．【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即．则．因此，．由，两边除以，得，即．所以，原式．故答案为：2024．知识点二双方程根系关联问题1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____．【答案】【分析】由根与系数的关系可得：，，得：，从而推出，解得，，再根据，解得或，可知（舍去），，将和联立，解得，，从而求得，，根据，求得，即可求解．【详解】解：由根与系数的关系可得：，，得：，又，，解得，，∵方程有两个实数根，，即，解得或；（舍去），，∴，，联立，解得，，又，解得，，又，解得，∴．2．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______．【答案】【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可．【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根．根据根与系数的关系可得：，．，．．对所求式子变形得：．将，，代入得：．3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可．【详解】解：由题意得，，，则，，设实数，满足，由根与系数关系得：、，故A、B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．4．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）．(1)判断是否是方程的根，并说明理由；(2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一