专题08 导数及其应用 3年（2024-2026）高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析高考真题分类解析PAGE2PAGE1专题08导数及其应用答案版考点01导数的计算和几何意义1、D2、D3、A4、5、6、7、(1)、(2)有两个极值点(3)交点个数为8、(1)(2)(3)9、(1)(2)方法一：令，则，当时，，，则，所以在上单调递增，则，所以在上恒成立，即在上恒成立；当时，令，所以，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，因为，所以，所以，由于，所以，则在上单调递增，则，即在恒成立，所以在上单调递减，所以，即在成立，故在成立，综上，在上恒成立，方法二：若证明当时，，即证当时，，设，，则，当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立，则，所以在上恒成立，当时，设，则，可知在上单调递增，则，因为，则，可得，且，则，可知在上单调递增，则，即在恒成立，可知在上单调递减，则，即在成立；综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立.方法三：因为，即，可得，令，，则，设，，当时，则，当时，则，因为，则，可得，即，可知在内单调递减，且，当时，，即；当时，，即；综上所述：当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，所以在内恒成立，且，即在内恒成立，所以在上恒成立.(3)10、(1)(2)11、(1)(2)或，12、(1)(2)因为，所以直线的方程为，即，设，，由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，而当时，，所以总有，单调递增故，从而命题得证；(3)13、(1)(2)（i）；（ii）由图象可知，，设，则，满足，由可得，两式作差可得，则由对数均值不等式可得，则，故要证，即证，只需证，即证，又因为，则，所以，故只需证，设函数，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；故，即.而由，可知成立，故命题得证.14、（1）由题意证明如下，，在数列中，，，∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.(2)15、(1)（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.(3)16、(1)当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．(2)存在，(3)严格单调递减17、(1)单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线方程为，将代入则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在无零点，与假设矛盾，故直线不过.(3)218、(1)(2)2（3）先证明一个结论：对，有.证明：前面已经证明不等式，故，且，所以，即.由，可知当时，当时.所以在上递减，在上递增.不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当时，有，结论成立；情况二：当时，有.对任意的，设，则.由于单调递增，且有，且当，时，由可知.所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.故在上递减，在上递增.①当时，有；②当时，由于，故我们可以取.从而当时，由，可得.再根据在上递减，即知对都有；综合①②可知对任意，都有，即.根据和的任意性，取，，就得到.所以.情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.而根据的单调性，知或.故一定有成立.综上，结论成立.19、(1)(2)考点02导数在研究函数中的作用1、B2、D3、B4、BCD5、ABD6、AD7、ACD8、①②③④9、10、11、(1)(2)且.12、(1)证明：由题得，因为，所以，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，，令，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上存在唯一极值点，对函数有在上恒成立，所以在上单调递减，所以在上恒成立，又因为，时，所以时，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.(2)（i）证明：由（1）知，则，，，则，，，即在上单调递减.（ii），证明如下：由（i）知：函数在区间上单调递减，所以即，又，由（1）可知在上单调递减，，且对任意，所以.13、(1)（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解；故存在，使得，法2：由余弦函数的性质知的解为，若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立.(3)14、(1)（2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.(3)15、（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证16、(1)极小值为，无极大值.(2)考点03导数的综合应用1、B2、3、4、(1)；(2)由题意知，记，有或2，02正0负0正极大值极小值现对分类讨论:当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件;当时，，先减后增，，因为取等号)，所以，此时，符合条件，且时，；当时，，在严格增，在严格减，在严格增，，因为，此时，，则，则成立;综上可知，对于任意，都有，且存在，使得.(3)必要性:若为偶函数，则，当，因为，故;充分性：