3.2.4 黄金分割 教学课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

黄金分割3北师版九年级上册情景导入ABCLKDEGHF一个五角星如图所示。（1）从图中找出相等的角、相等的线段。ABCLKDEGHF一个五角星如图所示。（2）在图中找出相似比不同的两对相似三角形。如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC小亮认为，。你同意他的看法吗？说说你的理由。探究新知一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB

的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。ABCAAC例

计算黄金比。解：由，得AC2＝AB·BC。设AB＝1，AC＝x，∴x2＝1×（1－x），即x2＋x－1＝0。解这个方程，得（不合题意，舍去）。则BC

=1－x。所以，黄金比较长线段原线段＝较短线段较长线段比值称为黄金比，近似值为0.618线段AB被点C黄金分割黄金分割点归纳总结AAC黄金比是一个比值，它没有单位!ABC黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点。如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点。D并且AD＝BC，AC＝BD。已知点C

是线段AB

的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC

的长为________cm。巩固练习变式：已知点C

是线段AB

的黄金分割点，若AB=4cm，则AC

的长为________________cm。古希腊时期的巴台农神庙尝试·思考宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD

为黄金矩形，在边AB

和边CD

上分别取点E，F，使四边形AEFD

为正方形。ABDCEFHG（1）矩形EBCF

是黄金矩形吗？为什么？设矩形ABCD

中，长AB=a，宽BC=b，ABDCEFHG已知四边形AEFD

是正方形，所以AE=AD=BC=b，则：由ABCD

是黄金矩形，得：EB=AB－AE=a－b矩形EBCF的宽为EB=a－b，长为BC=b，我们计算它的宽长比：因为，所以，代入得：是（2）在边EF

和边BC

上分别取点G，H，使四边形EBHG为正方形，那么矩形GHCF

是黄金矩形吗？已知四边形EBHG

是正方形，所以EG=EB=a－b，则：GF=EF－EG=BC－EB=b－(a－b)=2b－a矩形GHCF

的宽为CF=2b－a，长为EB=a－b，计算宽长比：代入，即，得：ABDCEFHG是（3）在这个图中，你还能得到更多的黄金矩形吗？试一试！ABDCEFHG已知线段AB

，点P

是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP

为边的正方形的面积为S1，以PB、

AB

为边的矩形面积为S2，则S1

与S2

的关系是（）S1＞S2 B.S1＜S2

C.S1=S2 D.S1≥S2巩固练习C黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的。ABCLKDEGHF黄金分割也被应用于各种艺术品创作当中绘画：《蒙娜丽莎》雕像：《维纳斯》苹果logo影视中的黄金分割使画面更加自然大方与舒适公认最完美的人体比例也和黄金分割挂钩自然界中的黄金分割生活中的黄金分割达标检测【选自教材P72随堂练习】1.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB

是已知线段，过点B

作BD⊥AB，使BD=AB；连接DA，在DA

上截取DE=DB；在AB

上截取AC=AE。点C

就是线段AB

的黄金分割点。请说明其中的道理。ABDEC∵DE=BD=1解：设BD＝1，AB＝2,∴点C

是线段AB

的黄金分割点。ABDEC拓展黄金分割点的作法：如图，已知线段AB，（1）以线段AB为边作正方形ABCD；（2）取AD的中点E，连接EB；（3）延长DA至点F，使EF＝EB；（4）以AF为边作正方形AFGH；ABDCE点H即为所求的黄金分割点。FGH【阅读教材p73】2.如图：在△ABC

中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC

交AC

于点D，求证：D

是AC

的黄金分割点。证明：在等腰△ABC

中，顶角∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°，∵BD

为∠ABC

的平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，在△ACB

和△BCD

中，∠BDC=72°，∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，∴△ACB

∽△BCD，∴AC∶BC=BC∶DC，∵∠A=∠ABD

，∴AD=BD。∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴