九年级数学：实数微课课件

微课视频配套课件九年级数学实数微课课件从有理数到实数：数的世界完整拼图内容导览01实数概念与分类从有理数到无理数，建立完整分类体系02数轴与实数性质相反数、绝对值与大小比较的几何直观03实数运算平方根、立方根与混合运算规则04中考实战演练真题精析与易错点突破第一章实数概念与分类数系扩张，步步为营从有理数到无理数，实数世界完整呈现01第一章实数概念与分类数系扩张，步步为营01数的扩张：从自然数到有理数数的世界并非一蹴而就，而是随着人类生产与数学发展不断扩张数的世界随人类生产与数学发展不断扩张，从自然数到整数再到有理数，每一步都源于实际需要第一阶段自然数计数的需要人类最早产生的数，源于对事物数量的清点第二阶段整数表示相反意义的量引入负数，用于刻画收支、盈亏等相反方向第三阶段有理数测量与分配中无法整除分数应运而生，数的范围由此进一步扩张有理数可表示为分数的形式，即两个整数之比判定一切有限小数和无限循环小数都是有理数时代之问对角线长度能否用有理数表示？无理数的发现：根号二之谜希帕索斯研究发现，边长为1的正方形对角线长度无法写成分数形式公元前五百年毕达哥拉斯学派坚信万物皆数，一切量都可用整数之比表达。发现时刻希帕索斯·对角线之惑边长为1的正方形，对角线长度无法写成分数。历史回响第一次数学危机动摇学派数论根基，史称第一次数学危机。无理数的定义与特征无限不循环小数叫做无理数判断一个数是否为无理数，就看它的小数部分是否无限且不循环无理数的三大判别特征3项特征一小数点后的数字无限延续，永不终止特征二数字排列不循环，无周期性规律特征三无法写成两个整数之比的形式常见无理数举例类型示例开方开不尽的数√2、√3、√5特定常数π人为构造0.1010010001…实数的完整分类体系大类一级分类二级分类实例实数有理数整数0、±1、±2分数1/2、-3/7有限小数0.25无限循环小数0.333…无理数无限不循环小数√2、π有理数与无理数的判定方法判据一：看形式能写成分数形式→有理数判据二：看小数特征有限小数、无限循环小数→有理数无限不循环小数→无理数判据三：看来源能开方开尽→有理数开不尽→无理数

易错提醒π

是无理数，3.14是π的近似值，属于有理数带根号的数未必都是无理数，如

√4=2

是有理数判断练习1课堂辨析题目区分

√7、3.14159、0.1010010001…

中哪些是无理数无限不循环有限小数循环节实数与有理数的包含关系实数范围包含了此前学过的所有数自上而下01自然数集合被整数集合完全包含，是数系扩张的最基本层级02整数集合被有理数集合完全包含，扩张时保留全部原有元素03有理数集合被实数集合完全包含，与无理数共同构成实数04实数集合包含此前学过的所有数，是有理数与无理数的并集实数是有理数集合与无理数集合的并集互不相交有理数与无理数是实数的两个互不相交的子集归属唯一每一个有理数都是实数，每一个无理数也是实数，不存在同时属于两者的数保留原有数系扩张的规律：每一次扩张都保留原有数集的全部元素第二章数轴与实数性质数与形，一线相连数轴之上，每一个实数都有唯一的位置02实数和数轴上的点一一对应实数因此被称为

连续的数，填满了数轴上的所有空隙实数与数轴上的点一一对应，无遗漏、无重复数轴→实数方向数轴上的每一个点都表示一个

唯一的实数每一个实数都可以用数轴上的

一个点

来表示实数→数轴方向√2的几何定位构造法与精准标记以

0

和

1

为直角边作等腰直角三角形，斜边终点即

√2

在数轴上的位置，借助

圆规与直尺

可精确标记。每一个实数都可以用数轴上的

一个点

来表示相反数：关于原点对称只有符号不同的两个数互为相反数代数角度a的相反数是

-a，√2的相反数是

-√2化简多重符号：负负得正，如-(-3)=3互为相反数的两个数相加为

0几何角度互为相反数的两个数在数轴上位于原点

两侧它们到原点的距离

相等，关于原点对称0

的相反数是

0绝对值：数轴上到原点的距离一个数的绝对值，是它在数轴上到原点的距离任何实数的绝对值都非负距离不可能为负，因此|a|≥0数的类型绝对值示例正数它本身|3|=3负数它的相反数|-3|=3零0|0|=0绝对值的基本性质非负性任何实数的绝对值都非负对称性互为相反数的两个数，绝对值相等几何意义|a|表示数a对应点到原点的距离；|a-b|表示数a与数b对应点之间的距离绝对值的化简方法例题：化简|√3-2|分析：因为√3≈1.732，所以√3-2小于0解答：|√3-2|=-(√3-2)=2-√3化简|a|的关键：先判断

a的正负性若a大于0则|a|=a若a等于0则|a|=0若a小于0则|a|=-a实数的大小比较数轴比较法数轴上右边的数总比左边的大作差法若

a−b>0，则

a>b平方法比较两个正无理数时，可比较它们的平方近似值法取近似值后比较，如

√5≈2.236

与

2.2

比较第三章实数运算算理清晰，运算自如掌握根式运算规则，实数计算不再出错03平方根的概念与符号如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根因核心定义记法正数a的平方根记作

±√a关系平方与开平方互为

逆运算运算求一个数平方根的运算叫做

开平方问核心提问思考一个正数的平方根有几个？它们有什么关系？例如：因为3的平方是9，(-3)的平方也是9，所以

±3都是9的平方根排他性：负数

没有平方根，因为任何实数的平方都不可能为负算术平方根与平方根之别√a专指算术平方根，结果不为负对比项平方根算术平方根符号±√a√a个数正数有2个正数有1个符号性一正一负仅为非负数示例9的平方根是

±39的算术平方根是3二者联系：正数的两个平方根互为

相反数特殊值：0的平方根是

0

，0的算术平方根也是0立方根：解开三次方之谜如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根任何实数都有唯一的立方根，正负符号与底数保持一致。核心概念符号记作

³√a立方根的符号记作

³√a求立方根=开立方求立方根的运算叫做开立方，它与立方运算互为逆运算实例对照因为

2

的立方是8，所以8的立方根是

2因为

-2

的立方是-8，所以-8的立方根是

-2正数的立方根是正数负数的立方根是负数平方根与立方根全对比平方根正有俩，立方根独一个判断方程是否有解，先明确是平方还是立方平方根vs立方根

全对比对比项平方根立方根符号±√a³√a正数个数2个1个负数情形无平方根有立方根0的情形00逆运算平方立方对比项差异显著记记忆口诀平方根

正有俩，立方根

独一个结结论判断一个方程是否有解，需先明确是平方还是立方无理数的近似值与估算估算无理数，常采用夹逼法1第一步找到相邻的完全平方数确定整数部分因为

9<10<16所以

3<√10<42第二步逐步缩小范围确定十分位3.1²=9.61<103.2²=10.24>10可知

3.1<√10<3.23第三步继续精确到百分位按需继续根据需要继续精确到百分位或更多位夹逼范围越收越窄估算结论√10≈3.16实数的运算规则运算顺序根式运算法则先乘方开方第一优先级运算再乘除第二优先级运算后加减第三优先级运算乘法√a×√b=√(ab)条件：a、b均为非负数除法√a÷√b=√(a÷b)条件：a非负，b为正加减同类二次根式才能合并如2√3+5√3=7√3

注意√a+√b一般

不等于√(a+b)实数混合运算典型例题例题：计算√8+|√2-2|-(√2)²要点回顾先化简根式，再去绝对值，最后合并同类项第一步化简根式化简√8=2√2第二步去绝对值判断√2−2<0所以|√2−2|=2−√2第三步计算平方计算(√2)²=2第四步合并同类项原式=2√2+2−√2−2合并后同类项相消，2与−2抵消、2√2与−√2合并最终结果：√2化简得√2第四章中考实战演练真题为镜，查漏补缺在实战中检验实数知识，向满分迈进04中考实数概念题精析中考高频考点：实数与无理数的分类判断先化简再判断，警惕带根号但能开尽的伪装者01典型考法给出若干数，要求选出所有无理数例题：下列数中无理数是？A√9B3.14CπD-2/3分析√9=3

为有理数；3.14为有限小数；-2/3为分数答案C（π）中考绝对值与数轴题精析中考常见考法：结合数轴化简绝对值表达式先定

符号，再去

绝对值，最后化简01例题精讲数轴化简实数a、b在数轴上对应点位于原点两侧，且a在原点左侧，b在原点右侧，|a|>|b|，化简|a+b|。分析：a为负，b为正，且|a|>|b|。所以

a+b小于0。化简：|a+b|=-(a+b)方法提炼01先定符号判断a、b正负，比较绝对值大小02再去绝对值依据内部正负号决定是否变号03最后化简写出最简结果符号判断是化简前提中考平方根立方根题精析平方根有正负，立方根唯一典型题型一：求值计算例题计算

√16+³√(-8)解答√16=4，³√(-8)=-2所以结果为2典型题型二：概念判断例题：下列说法正确的是？A·错误4的平方根是2，应为

±2B·正确-4没有平方根答案：B中考实数运算真题演练例题：计算|1-√3|+√12-³√81判断绝对值1-√3<0，故

|1-√3|=√3-12化简二次根式√12=2√33计算立方根³√8=24代入原式√3-1+2√3-25合并同类项3√3-3总结实数运算题得分关键在于

化简到位

与

符号准确实数易错点集中突破考前避坑，精准提分易错点错误认知正确认知平方根符号√4=±2√4=2负数的平方根-1有平方根负数无平方根π的归属π是有理数π是无理数绝对值|a|恒等于a|a|恒非负根式加减√2+√3=√5不能直接相加考