七年级数学：全等三角形教学课件

全等三角形：从直观到严谨的几何之旅认识全等·探索判定·学会证明授课对象：七年级学生课程导览01认识全等从生活图形到数学概念02全等三角形符号语言与对应关系03判定定理四种判定方法的探索04推理应用规范书写证明过程05综合提升实际问题与思维拓展认识全等一模一样，才能完全重合从生活图形出发，走进全等的世界01生活里处处有重合的图形观察身边，哪些图形能完全重合？观察生活中的物品，想一想：哪些图形能完全重合？邮票两张完全相同叠放，边缘完全对齐复印复印出的图案与原图一模一样剪纸对折后剪出的左右两半完全重合三角板同一款式两块叠放，严丝合缝这些图形的共同特点：形状相同、大小相同，能够完全重合。能够完全重合就是全等“能够完全重合的两个图形叫做全等形。”全等形要求形状与大小同时相同，缺一不可。判断要点形状必须相同大小必须相同放置位置、方向可以不同正例两张形状大小都相同的照片→全等形反例一个大圆和一个小圆→形状相同但大小不同，不是全等形一个正方形和一个长方形→大小可能相同但形状不同，不是全等形平移翻折旋转都不改变全等变换方式操作描述变换后图形平移沿直线方向移动一段距离与原图全等翻折沿某条直线翻转过去与原图全等旋转绕某一点转动一定角度与原图全等图形的位置改变不会影响图形的大小和形状。因此，只要两个图形能够通过平移、翻折、旋转中的一种或几种变换完全重合，它们就是全等形。练一练：找出全等图形判断下列说法是否正确，并说明理由：1判断题一错误两个面积相等的三角形一定全等。提示面积相等只说明大小相同，形状可能不同。2判断题二正确两个周长相等的圆一定全等。提示周长相等说明半径相等，圆的形状大小都确定。3判断题三正确经过翻折后得到的新图形与原图形全等。提示翻折只改变位置，不改变形状大小。4判断题四错误形状相同的两个图形一定全等。提示形状相同但大小可能不同。小结：判断全等必须同时看形状和大小。全等三角形对应是关键用符号语言精确描述全等三角形02认识全等三角形两个三角形满足什么条件才是全等三角形？能够

完全重合

的两个三角形叫做

全等三角形；重合时互相重合的顶点、边、角都有专门名称，即

对应关系。完全重合两个三角形能够完全重合顶点三个顶点分别重合边三条边分别重合角三个角分别重合我们把能够

完全重合

的两个三角形叫做

全等三角形。符号“≌”这样书写书写规范符号“≌”由“∽”和“=”上下叠合而成书写时先写上面的“∽”，再写下面的“=”表示两个三角形全等时三角形ABC与三角形DEF全等，记作：三角形ABC≌三角形DEF书写时必须把对应顶点写在对应的位置上。对应关系位置要求易错警示点A对应点D都写在第一位首字母顺序不可颠倒点B对应点E都写在第二位中间字母顺序不可颠倒点C对应点F都写在第三位末字母顺序不可颠倒关键要求顺序错，对应关系就全错了。找准对应顶点边和角全等三角形重合时，互相重合的元素叫做对应元素对应顶点互相重合的顶点点A与点D点B与点E点C与点F对应边互相重合的边边AB与边DE边BC与边EF边AC与边DF对应角互相重合的角角A与角D角B与角E角C与角F符号里边看位置，位置相同即对应——写全等式时对应顶点写在相同位置，依次读出对应边和角全等三角形的两条性质🔺全等三角形有两条基本性质性质一：对应边相等因为两条边完全重合，所以长度必然相同AB=DE，BC=EF，AC=DF性质二：对应角相等因为两个角完全重合，所以角度必然相同角A=角D，角B=角E，角C=角F找对应元素的三个技巧公共边一定与自身对应两个三角形共用的边，一定与自身对应。示例三角形ABC与三角形DCB中，边BC是公共边，对应自身。公共角一定与自身对应两个三角形共用的角，一定与自身对应。对顶角同属对顶角也属于公共角的情形，对应关系明确。最长边对最长边，最大角对最大角无符号提示时判断若符号中没有提示，可依据边的长短、角的大小判断对应关系。综合运用综合运用这三个技巧，能在复杂图形中快速锁定对应元素，为后续判定和证明打好基础。巩固练习：写出对应元素已知：△ABC≌△DEF，根据全等符号写出对应元素对应顶点第一位：点A对应点D第二位：点B对应点E第三位：点C对应点F对应边与对应角对应边：AB=DE，BC=EF，AC=DF对应角：角A=角D，角B=角E，角C=角F位置相同即对应全等符号中位置相同的字母即为对应顶点。先找对应顶点，再顺藤摸瓜找边和角，顺序不能乱。判定定理最少条件，最多发现动手探索，发现全等的判定方法03要几个条件才能判定全等判定两个三角形全等，需要知道几个条件？判定全等是否必须6个条件全都知道？回顾性质全等三角形有

3组

对应边相等、3组

对应角相等，共

6个条件。逐步尝试只知道

1个条件（1条边相等或1个角相等），能画出无数个不同三角形，不能判定。只知道

2个条件（如两条边相等），同样不能确保两个三角形全等。那么，最少需要哪几个条件、按什么方式组合，才能唯一确定三角形的大小和形状？这就是本章要探索的核心问题。判定方法一：边边边SSS“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”理解要点三边对应相等三组对应边都相等唯一确定三边长度确定，三角形的形状和大小唯一确定稳定性与“三角形具有稳定性”原理一致符号语言在

△ABC

和

△DEF

中，若

AB=DE，BC=EF，AC=DF，则

△ABC≌△DEF（SSS）。SSS是最基础、最常用的判定方法之一。判定方法二：边角边SAS两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

（SAS）可简写为“边角边”或“SAS”符号语言在

△ABC和

△DEF中，若

AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则

△ABC≌△DEF（SAS）理解要点必须是两边以及这两条边所夹的那个角“夹角”是关键，角的位置必须夹在两条已知边之间这个角确定了，两条边的张开程度就固定了特别注意：如果相等的角不是两边的夹角，SAS不成立，不能直接判定全等。判定方法三：角边角ASA“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”角边角判定定理ASA与SAS结构相似，区别在于相等元素的位置——SAS是“边夹角”，ASA是“角夹边”。理解要点必须是两个角以及这两个角所夹的那条边“夹边”指位于两个已知角之间的那条边两个角确定后，第三个角也随之确定，再定夹边即可确定整体符号语言在三角形ABC和三角形DEF中，若

角B=角E，BC=EF，角C=角F，则

三角形ABC≌三角形DEF（ASA）判定方法四：角角边AAS角角边AAS两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可简写为“角角边”或“AAS”。ASA与AAS的区别：ASA中相等的边是两角的夹边，AAS中相等的边是其中一角的对边。理解要点①已知两个角相等，第三个角必然也相等②相等的这条边是其中一个角的对边③由于两角确定后第三角已定，AAS实质上可以转化为ASA符号语言在

△ABC和

△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则

△ABC≌

△DEF（AAS）直角三角形专用：斜边直角边HL斜边、直角边（HL）判定定理适用范围90°仅适用于直角三角形判断条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。符号语言·角90°∠C=∠F在直角三角形ABC和直角三角形DEF中，两直角相等。符号语言·边斜边与直角边若AB=DE，AC=DF，则

△ABC≌△DEF（HL）。悟理解要点HL只适用于直角三角形非直角三角形不能使用HL判定需要斜边相等，以及任意一条直角边相等任选一条直角边即可，不要求指定由勾股定理可知，斜边和一条直角边确定后，另一条直角边也随之确定由勾股定理可唯一确定第三条边这些组合为什么不能判定组合一：边边角（SSA）不能判定全等已知两边和其中一边的对角相等三角形可能不唯一，无法确定唯一形状。反例说明两边固定、一角固定时，可能画出两个不同形状的三角形。因此SSA不能作为判定依据组合二：角角角（AAA）仅能判定相似三个角分别相等只能说明两个三角形形状相同。大小可以不同如同同一形状的放大版和缩小版，对应边不成比例。因此AAA不能判定全等，只能说明相似五种判定方法一览判定方法简称相等条件适用范围边边边SSS三边对应相等所有三角形边角边SAS两边及其夹角相等所有三角形角边角ASA两角及其夹边相等所有三角形角角边AAS两角及一角的对边相等所有三角形斜边直角边HL斜边和一条直角边相等仅直角三角形前四种适用于任意三角形SSS/SAS/ASA/AAS对任意三角形均成立。HL是直角三角形的专属方法仅直角三角形适用。每种方法都要有3个条件边角位置关系符合简称。推理应用步步有据，环环相扣学会用判定定理书写规范证明04推理应用步步有据，环环相扣学会用判定定理书写规范证明04几何证明的书写规范规范书写不仅是为了得分，更是逻辑思维的外在体现。四步书写流程01摆条件逐条列出已知条件，注明已知或已证02写范围明确写出"在△ABC和△DEF中"03列相等把满足判定方法的三组条件依次写出04下结论写出"△ABC≌△DEF"，括号内注明判定方法书写要点每步推理必须有依据，不能跳步判定方法写在结论后方括号内，如（SSS）、（SAS）对应顶点的顺序必须前后一致规范书写不仅是为了得分，更是逻辑思维的外在体现。例题一：用SSS证明全等通过完整例题展示SSS判定在实际证明中的规范应用已知三边对应相等，即可判定两三角形全等规范证明过程3步证明在三角形ABC

和

三角形DEF

中，三条件AB=DE（已知）·BC=EF（已知）·AC=DF（已知）结论所以

三角形ABC≌三角形DEF（SSS）。已知求证SSS本题三条边都直接已知，属于最基础的SSS应用。关键是条件要写全、写准，结论后注明判定方法。例题二：用SAS证明全等定理证明的突破口：找公共元素是常用思路证明过程已知条件：AB=CD（已知），∠B=∠C（已知），BC=CB（公共边）求证：△ABC≌△DCB（边角边SAS）证明：由SAS判定定理，三条件逐一对应，故

△ABC≌△DCB点评：关键在找公共边BC=CB，它满足SAS中“边”的条件例题三：用AAS证明全等先分析再动笔，选对判定方法析分析已知∠A=∠D、∠B=∠C公共边BC=CB判定思路两组角相等且非夹边，考虑AAS02证明∠A=∠D（已知）∠B=∠C（已知）BC=CB（公共边）∴△ABC≌△DCB（AAS）评点评判定关键BC是∠A或∠D的对边，非夹边，故用AAS（角角边）解题步骤先分析再动笔证明中常见的三类错误初学证明时，常见以下三类错误一错误一：条件摆错位置表现边角位置与判定方法简称不匹配，如用SAS却摆出两角一边纠正动笔前先确认用哪个判定方法，再按该方法需要的顺序摆条件二错误二：对应点顺序混乱表现结论中两个三角形的顶点顺序与前面的对应关系不一致纠正结论必须与全等式中对应顶点的顺序严格一致三错误三：跳步或缺依据表现直接从已知跳到结论，少写中间条件，或漏注判定方法纠正每一步都问自己“依据是什么”，结论后必写（SSS）等方法名课堂练习：独立完成证明练习一：HL判定直角三角形已知AC=BD，∠A=∠B=90°，求

△ACD≌△BDC提示：AD与BC是公共边还是对应边？直角三角形用

HL练习二：SAS判定公共边已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证

BC=DC提示：先证

△ABC≌△ADC，找公共边AC，用SAS，再由全等性质推BC=DC独立完成，注意条件顺序与书写规范综合提升学以致用，融会贯通在解决问题中深化对全等的理解05用全等测量不可达的距离实际问题要测量小河两岸点A、点B之间的距离，但无法直接过河测量，怎么办？转化思路构造全等三角形，把不可直接测量的线段转化为可直接测量的线段。操作步骤1找点C在岸上找一点C，使从C能同时看到点A和点B2延长AC延长AC到点D，使

CD=AC3延长BC延长BC到点E，使

CE=BC4测量DE测量DE的长度测量示意图△ACB≅△DCE全等依据三角形ACB与三角形DCE中，AC=DC，BC=EC，角ACB=角DCE（对顶角），由

SAS

得两三角形全等，于是

AB=DE。数学的力量：把无法直接测量的距离，转化为可以测量的距离。全等思维解决生活问题全等三角形思想在生活中有广泛的应用这就是全等思维的精髓：化难为易，化不可测为可测。建筑施工用三角形结构加固棚架，利用三角形稳定性与全等保证尺寸一致。机械制造批量生产的零部件必须与标准件全等，才能互换使用。图案设计利用平移、翻折、旋转构造全等图形，设计对称美观的图案。测量测绘利用全等原理测量山高、河宽等难以直接测量的距离。共同思路：找一个可测量的对象与目标对象构成全等三角形，通过证明全等，把未知量转化为已知量。综合证明挑战题挑战题已知条件AB=DC·AE=DF·BE=CF点E、F在BC上三组边分别相等，用

SSS

可证

△ABE≌△DCF；条件看似分散，需通过等量代换把条件串起来。证明分析——逐步推导目标

△ABE≌△DCF1已有两组边相等AB=DC，AE=DF两组边已确定。2找第三组边或夹角即可用

SSS

或

SAS

证明。3等量代换BE=CF，两边加EF得

BF=CE。4第三边直接可用BE=CF是已知条件可直接作为第三组边。全章知识框架梳理全章主线：认识全等→理解性质→掌握判定→