2027年高考数学一轮复习专题4.9 函数y=Asin（ωx+φ）（举一反三复习讲义）（全国）（解析版）

专题4.9函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三复习讲义）

【全国通用】

(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，

了解参数的变化对函数图象的影响

考点要求

(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化

的数学模型

考点2024年2025年2026年

高考真题

函数

统计北京卷：第8题，5分

y=Asin(ωx+φ)

1、函数y=Asin(ωx+φ)

函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容。从近

命题规律三年的高考情况来看，高考对函数y=Asin(ωx+φ)的考查比较稳定，主要有两

大考查方向：①函数的图象变换；②由部分图象求函数的解析

分析y=Asin(ωx+φ)

式；试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，复习时要学会掌握

三角函数的图象变换规律。

知识点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法

作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取

来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”

与“先伸缩后平移”.

2．三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名：函数的名称要变得一样；

(3)选方法：即选择变换方法.

3．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧

研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

知识点2由部分图象确定函数解析式的解题方法

1．由部分图象确定函数解析式的方法

由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，

常用如下两种方法：

(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离

原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.

(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，

ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.

知识点3三角函数模型

1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义

在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数

中的常数有关.

振幅振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离

周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间

频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数

相位ωx+φ称为相位

初相x=0时的相位φ称为初相

2．三角函数模型

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问

题，利用三角函数的有关知识解决问题.

【方法技巧与总结】

1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

2．由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

【题型1三角函数的图象变换】

【例1】（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）

π

�=sin2��=sin2�−6

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

ππ

1212

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

ππ

66

【答案】A

【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行选择.

【解答过程】因为，

ππ

�=sin2�=sin2�+12−6

所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象.

ππ

�=sin2�−612�=sin2�

故选：A.

【变式1-1】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所

π

有的点（）�=sin2��=sin4�+6

A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

π

12

B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

π

12

C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

1π

212

D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

1π

212

【答案】A

【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行判断.

【解答过程】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，

π

�=sin2�+6

再向右平移个单位长度，得到，A正确；

πππ

12�=sin2�−12+6=sin2�

B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，

π

�=sin2�+6

再向左平移个单位长度，得到，B错误；

ππππ

12�=sin2�+12+6=sin2�+3

C选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，

1π

2�=sin8�+6

再向左平移个单位长度，得到，C错误；

πππ5π

12�=sin8�+12+6=sin8�+6

D选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，

1π

2�=sin8�+6

再向右平移个单位长度，得到，D错误；

ππππ

12�=sin8�−12+6=sin8�−2

故选：A.

【变式1-2】（2026·湖北恩施·模拟预测）要得到函数的图象，只要将函数

π5π

的图象（）�=sin2�+4�=cos2�−6

A．向右平移个单位B．向左平移个单位

7π7π

1212

C．向右平移个单位D．向左平移个单位

7π7π

2424

【答案】D

【解题思路】先利用诱导公式将化成，再利用平移变换即得结果.

5ππ

�=cos(2�−6)�=sin(2�−3)

【解答过程】因为，

5ππππ

�=cos2�−6=cos(2�−3−2)=sin2�−3

由向左平移，即得.

π7π7πππ

�=sin(2�−3)24�=sin[2(�+24)−3]=sin(2�+4)

故选：D.

【变式1-3】（2026·湖南·模拟预测）函数的图象可以由（）

π

�=sin2�−3

A．的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得

π1

到�=sin�62

B．的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得

π

到�=sin�3

C．的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到

1π

�=sin�26

D．的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到

π

�=sin�3

【答案】C

【解题思路】根据三角函数的变换规则一一判断即可.

【解答过程】对于A：将的图象向右平移个单位长度得到，

ππ

�=sin�6�=sin�−6

再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误；

π1π

�=sin�−62�=sin2�−6

对于B：将的图象向左平移个单位长度得到，

ππ

�=sin�3�=sin�+3

再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误；

π1π

�=sin�+3�=sin2�+3

对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，

1

�=sin�2�=sin2�

再将向右平移个单位长度得到，故C正确；

πππ

�=sin2�6�=sin2�−6=sin2�−3

对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，

1

�=sin��=sin2�

再将向左平移个单位长度得到，故D错误.

1π1π1π

�=sin2�3�=sin2�+3=sin2�+6

故选：C.

【题型2求图象变化前（后）的解析式】

【例2】（2026·江西赣州·二模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，

π

��=sin2�+�(0<�<π)6

得到的函数图象关于点中心对称，则（）

π

4,0�=

A．B．C．D．

5π2πππ

6336

【答案】D

【解题思路】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可.

π

�=sin2�+3+�(0<�<π)

【解答过程】函数图象上的所有点向左平移个单位得：

π

��=sin2�+�(0<�<π)6

，

ππ

�=sin2�+6+�=sin2�+3+�(0<�<π)

此函数图象关于点中心对称，

π

4,0

所以，即，

ππ5π

2×4+3+�=�π,�∈��=−6+�π,�∈�

因为，所以，.

π

0<�<π�=1�=6

故选：D.

【变式2-1】（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向右平移个单位长度，得到�函=数�(�)的图像，则（）2

π

3�=sin��(�)=

A．B．C．D．

ππ1π1π

cos2�−6sin2�−3cos2�−6sin2�−3

【答案】A

【解题思路】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.

【解答过程】函数的图像向左平移个单位长度，得到.

ππ

�=sin�3�=sin�+3

所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到.

1π

2�=sin2�+3

又，所以.

πππππ

�=sin2�+3=cos2�+3−2=cos2�−6��=cos2�−6

故选：A.

【变式2-2】（2026·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

π

�=sin2�+3

标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（）

π

3

A．B．

π

�=−sin4��=sin�−6

C．D．

2π

�=sin�+3�=sin�

【答案】D

【解题思路】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终

得出函数解析式．

【解答过程】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

π

�=sin2�+3

则需将替换为，即，

��ππ

�2�=sin2⋅2+3=sin�+3

再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为，

πππ

�=sin�+33��−3

即，

ππ

�=sin�−3+3=sin�

最终得到的函数解析式为，故D正确．

∴故选：D．�=sin�

【变式2-3】（2026·湖北襄阳·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向左平移个单位长度，得到�函=数��的图象，则（）

���

3�=sin2−12��=

A．B．C．D．

�7��7��

sin2−12sin�+4sin2�−12sin�−4

【答案】D

【解题思路】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.

【解答过程】把函数图象向右平移个单位长度，得到π，再将

����−3�1π

�=sin2−123�=sin2−12=sin2�−4

图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到.

1π1�

�=sin2�−42��=sin�−4

故选：D.

【题型3由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】

【例3】（2026·四川自贡·三模）已知函数的部分图象如图所示，

π

下列说法正确的是（）��=�sin��+��>0,�>0,�<2

A．函数的图象关于直线对称

π

�=���=−6

B．函数的图象关于点对称

5π

�=��−12,0

C．函数在上单调递减

2ππ

�=��−3,−6

D．当时，

π

�∈0,4��∈1,2

【答案】D

【解题思路】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断

，根据三角函数的值域可判断.�(�)AB

【C解答过程】由图知，D，

�πππ

�=24=3−12=4

所以，解得，

2π

�=�=π�=2

过点，所以，

ππ

�(�)12,22sin(2×12+�)=2

即，又，所以，

πππ

sin(6+�)=1�<2�=3

所以，

π

�(�)=2sin2�+3

对于：，

πππ

A�(−6)=2sin−3+3=0

所以函数的图象关于点对称，故错误；

π

�=��−6,0A

对于：，

5π5ππ

B�(−12)=2sin−6+3=−2

所以函数的图象关于直线对称，故错误；

5π

�=���=−12B

对于：，

ππ3π

C2+2�π≤2�+3≤2+2�π,�∈Z

，

π7π

6+2�π≤2�≤6+2�π,�∈Z

所以，

π7π

12+�π≤�≤12+�π,�∈Z

取，得，

11π5π

�=−1−12≤�≤−12

函数在上单调递减，故错误；

2π5π

�=��−3,−12C

对于：，所以，所以，

ππππ5π

D�∈0,42�∈0,22�+3∈3,6

所以，所以，故正确.

π1

sin(2�+3)∈2,1�(�)∈1,2D

故选：.

【变式3D-1】（25-26高三上·广东佛山·期中）已知函数的图象如图所示，则的表达

式可以为（）��=�sin��+���

A．B．

π7π

��=2cos2�−6��=2cos2�−6

C．D．

5π7π

��=sin2�−3��=2sin�−12

【答案】A

【解题思路】根据振幅可确定，根据周期可确定，进而根据最高点，确定，

13π13ππ

��122�=−6+2+2�π,�∈Z

代入中化简即可求解.

��

【解答过程】由图可知：,

313ππ2π

�=2,4�=12−3⇒�=π⇒�=�=2

经过最高点，，故,故，

13π13ππ13ππ

��1222×12+�=2+2�π,�∈Z�=−6+2+2�π,�∈Z

所以．

13πππππ

��=2sin2�−6+2+2�π=2sin2�−6+2=2cos2�−6

故选：A．

【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（）

��=sin��+��π=

A．0B．C．D．

113

【答案】D2−2−2

【解题思路】要解决这个问题，我们需要根据函数的图象求出和，进而求出的值.

【解答过程】因为的图象过点，所以��=，sin��+����π

33

��0,2sin�=2

由图可知，点在减区间内，所以．

32π

0,2�=3+2�π,�∈�

因为的图象过点，所以，

ππ2ππ2π

��3,0sin3�+3+2�π=sin3�+3=0

由图可知，点在减区间内，所以，即．

ππ2π

3,03�+3=π+2�π,�∈��=1+6�,�∈�

因为，所以，所以，

�ππ3

4=2�>3�<2�=1

所以，所以.

2π2π2π2π3

故选：��D.=sin�+3+2�π=sin�+3�π=sinπ+3=−sin3=−2

【变式3-3】（2026·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如

π

图所示，则下列正确个数有（）��=�sin��+�+��>0,�>0,�<2

①关于点对称；

π

��6,3

②关于直线对称；

π

���=3

③在区间上单调递减；

π5π

��2,6

④在区间上的值域为；

5ππ

��−12,121,3

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解题思路】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可.

【解答过程】由函数的图象可知：，.

5−15+1

�=2=2�=2=3

因为，又，所以.

1ππ

�0=2⇒2sin�+3=2⇒sin�=−2�<2�=−6

因为，

π�ππ�ππ

�−6=1⇒2sin−6−6+3=1⇒sin−6−6=−1

所以，.所以，.

�πππ

−6−6=−2+2�π�∈Z�=2−12��∈Z

由图象可知：，即.

�ππ2ππ

2>6⇒�>3�>3⇒�<6

所以当时，.

�=0�=2

所以.

π

��=2sin2�−6+3

对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误；

ππππ

�6=2sin2×6−6+3=4��6,3

对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确；

ππππ

�3=2sin2×3−6+3=5���=3

对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调

π5ππ5π3π5π3ππ5π

递减，③正�∈确；2,62�−6∈6,2�=sin�6,2��2,6

对④：当时，，所以，所以，④正确.

5ππππ

�∈−12,122�−6∈−π,0sin2�−6∈−1,0��∈1,3

故选：C.

【题型4三角函数图象、性质的综合应用】

【例4】（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶

π

��=sin2�+�cos2�3

函数，则在区间上的最小值为（）

π5π

��−12,12

A．B．C．D．0

23

−2−3−1

【答案】C

【解题思路】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参

数，最后求解最小值.

【解�答过程】因为，其中，

2

又因为函数的�图�象=向s左in平2�移+�个co单s2位�为=偶1函+数�，sin2�+�tan�=�

π

��3

即为偶函数，

π22π

��+3=1+�sin2�+3+�

所以，解得，

2πππ

3+�=2+�π,�∈��=−6+�π,�∈�

所以，

ππ3

�=tan�=tan−6+�π=tan−6=−3

所以，

23π

��=3sin2�−6

当，即，所以.

π5πππ2ππ3

�∈−12,122�−6∈−3,3sin2�−6∈−2,1

所以.

233

min

故选：��C.=3×−2=−1

【变式4-1】（2026·吉林白山·模拟预测）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

��

再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（）

ππ

6��=sin�+3

A．的最小正周期为B．在上单调递减

π

��π��0,4

C．图像关于直线对称D．图像关于点对称

ππ

���=12��6,0

【答案】A

【解题思路】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据

对称轴与对称中心的性质判断C�、�D.

【解答过程】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的，

π1

��62

可得.

π

��=sin(2�+6)

选项A，的，最小正周期，A正确；

2π

�(�)�=2�=�=π

选项B，当时，，在单调递增，

πππ2πππ

�∈(0,4)2�+6∈(6,3)sin�(6,2)

在单调递减，故在不是单调递减，B错误；

π2ππ

(2,3)�(�)(0,4)

选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入：

π

±1�=12

，因此不是对称轴，C错误；

ππππ3π

�(12)=sin2⋅12+6=sin3=2≠±1�=12

选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入：

π

0�=6

，因此不是对称中心，D错误.

πππππ

�(6)=sin2⋅6+6=sin2=1≠0(6,0)

故选：A．

【变式4-2】（2026·四川绵阳·一模）函数的最小正周期为，且

ππ

��=sin��+��>0,2<�<ππ�2=−

.

3

(21)求的解析式；

��

(2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.

ππ

��6����0,2

【答案】(1)

2π

��=sin2�+3

(2)

3

−2,1

【解题思路】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案；

π33π

�=2�2=−2sin�=22<�<π

（2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可.

π

��=sin2�+3

【解答过程】（1）解：因为函数的最小正周期为，

π

��=sin��+��>0,2<�<ππ

所以，解得，

2π

�=π�=2

因为，

π3

�2=−2

所以