2024-2025学年上海浦东新区上南中学东校七年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年上海市浦东新区上南中学东校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，满分18分）1.(3分)如果a<b，那么下列不等式正确的是（）A.−2+a<−2+bB.−2a<−2bC.aD.a2.(3分)如图中，∠1与∠2是同位角的有（）A.B.C.D.3.(3分)在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（）A.平板弹墨线B.建筑工人砌墙C.弯河道改直D.测量跳远成绩4.(3分)如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A.∠3=∠4B.∠D+∠ACD=C.∠D=∠DCED.∠1=∠25.(3分)已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等；③如果a2=b④两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等.其中假命题的个数是（）A.1B.2C.3D.46.(3分)如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB=∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC=90A.①②B.①③C.①②④D.①②③④二、填空题（每题2分，满分24分）7.(2分)不等式组&x<2&x⩽−1的解集是8.(2分)命题“等边三角形的每个内角都等于60^{\circ}''，其逆命题是.9.(2分)当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射.如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1=50∘，折射角∠2=36∘，则∠EDF10.(2分)如图，△ABC≅△CDE，点D在边AC上，若AB=3，CE=8，则AD=.11.(2分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD=5，CD=3，则△ABC的面积为.12.(2分)如图，已知∠1=∠2，若要使得△ABD≌△ACD，则可添加的条件是(只需填写一个条件)。13.(2分)若关于x的不等式组&x−a⩾0&3−2x⩾0只有一个整数解，则实数a14.(2分)如图，已知直线AB∥CD，点E是线段MN上的动点，若∠2=95∘，∠3=50∘，则15.(2分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为.16.(2分)若一个等腰三角形有一个内角为82∘，则它的底角为17.(2分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60∘，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A'B'C'，连接18.(2分)如图，将含有60∘锐角的三角板△ABC绕60∘的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE=AF，则旋转角是三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分）19.(6分)解不等式：2−x3⩾20.(6分)解不等式组：&x+3>2x①21.(6分)尺规作图：如图，直线AB和CD相交于点O，M是CD上的一点，(1)过点M画出直线AB的垂线，垂足为点F.(2)过点M画出直线AB的平行线PQ.22.(6分)完成下列证明：已知：∠B+∠CDE=180∘，∠1=∠2，求证：AB证明：∵∠1=∠BFD(①______)，又∵∠1=∠2，∠BFD=∠2∴BC∥②______(③______).∠C+④______=180∘∵∠B+∠CDE=180∘∠B=∠C.∴AB∥CD(⑥______).23.(6分)命题：全等三角形的对应角的平分线相等.(1)请将此命题改写成“如果…，那么…”的形式为______.(2)结合图形，补全此命题的已知和求证.已知：如图，①______，AD平分∠BAC交BC于点D，②______.求证：③______.(3)此命题是______命题.(填“真”或“假”）四、解答题（本大题共4题，24-25题，每题6分，26-27题每题8分，满分28分）24.(6分)如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F.求证：CE⊥CF.25.(6分)2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品.已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元.(1)每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？(2)学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？26.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠ABC=60∘，AD、CE分别平分∠BAC(1)求∠AOE的度数；(2)试说明：AC=AE+CD.27.(8分)综合与实践【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=6，AC=4，D为BC边上的中点，试求中线AD长的取值范围.【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请根据小明同学的方法思考：(1)由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是______.A.SASB.ASAC.AASD.SSS(2)求中线AD长的取值范围.(直接写出答案）【解决问题】(3)老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.∠ABC=∠DBE=90∘，BF是△BEC的中线，若BF=5，求数学2024-2025学年上海市浦东新区上南中学东校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，满分18分）1、【答案】A【知识点】不等式的性质2、【答案】C【知识点】同位角、内错角、同旁内角3、【答案】D【知识点】垂线段最短4、【答案】D【知识点】平行线的判定5、【答案】C【知识点】命题与定理6、【答案】C【知识点】等腰三角形的判定与性质,平行线的性质二、填空题（每题2分，满分24分）7、【答案】x⩽−1【知识点】解一元一次不等式组8、【答案】每个内角都等于60∘【知识点】原命题与逆命题9、【答案】14【知识点】垂线10、【答案】5【知识点】全等三角形的性质11、【答案】15【知识点】角平分线的性质,等腰三角形的性质12、【答案】AB=AC(答案不唯一)【知识点】全等三角形的判定13、【答案】0<a⩽1【知识点】一元一次不等式组的整数解14、【答案】45【知识点】平行线的性质15、【答案】15【知识点】等腰三角形的性质16、【答案】82∘或【知识点】等腰三角形的性质17、【答案】4【知识点】平移的性质18、【答案】40【知识点】旋转的性质三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分）19、【解答】解：∵2−x3∴7(2−x)⩾3(x−1)+4214−7x⩾3x−3+42，−7x−3x⩾−3+42−14，−10x⩾25，则x⩽−2.5，表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式20、【解答】解：&x+3>2x①解不等式①得：x<3，解不等式②得：x⩾−1，∴不等式组的解集为−1⩽x<3，∴不等式组的非负整数解为0，1，2.【知识点】解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解21、【解答】解：(1)如图，直线MF即为所求；(2)如图，直线PQ即为所求.【知识点】垂线,作图—复杂作图,过一点作已知直线的垂线22、【解答】证明：∵∠1=∠BFD(①对顶角相等)，又∵∠1=∠2，∴∠BFD=∠2，∴BC∥②DE(③同位角相等，两直线平行)，∴∠C+④∠CDE=180∵∠B+∠CDE=180∴∠B=∠C，∴AB∥CD(⑥内错角相等，两直线平行)。故答案为：①对顶角相等；②DE；③同位角相等，两直线平行；④∠CDE；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行.【知识点】平行线的判定23、【解答】解：(1)将此命题改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等.故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等.(2)已知：如图，△ABC≅△A'AD平分∠BAC交BC于点D，A'D'平分∠B'A求证：AD=A'故答案为：△ABC≅△A'B'C'，A'D'平分(3)此命题是真命题，理由如下：∵△ABC≅△A'∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A∵AD平分∠BAC，A'D'∴∠BAD=12∠BAC∴∠BAD=∠B'∵AB=A'B'∴△ABD≅△A'∴AD=A'∴全等三角形的对应角的平分线相等.故答案为：真.【知识点】命题与定理四、解答题（本大题共4题，24-25题，每题6分，26-27题每题8分，满分28分）24、【解答】证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE.∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF.∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180∴∠ACE+∠ACF=90即∠ECF=90∴CE⊥CF.【知识点】全等三角形的判定与性质25、【解答】解：（1）设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格为y元，由题意得：&2x+3y=156解得：&x=36答：每个A种价格为36元，每个B种价格分别为28元；(2)设购进m个A种徽章，则：&m≥2(60−m)36m+28(60−m)≤2000∴&∴m=40，答：购进A种徽章的个数是40.【知识点】一次函数的应用-其他问题26、【解答】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠ABC=∴∠ACB=30∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAO=12∠BAC=∴∠AOE=∠CAO+∠ACO=45(2)如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△AOE和△AOF中&AE=AF∴△AOE≅△AOF(SAS)∴∠AOE=∠AOF=60∴∠AOF=∠COD=60在△COF和△COD中，&∠FOC=∠DOC∴△COF≅△COD∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD.【知识点】全等三角形的判定与性质27、【解答】解：(1)D为BC边上的中点，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，&CD=BD∴△ADC≌△EDB(SAS)∴△ADC≌△EDB的理由是SAS，故答案为：A；(2)∵△ADC≌△EDB，∴EB=AC=4，∵AB−EB<AE<AB+EB，∴6−4<2AD<6+4，即1<AD<5；(3)延长BF至G，使GF=BF，连接CG，∵BF是△BEC的中线，∴CF=